Thom se lance, dans le milieu des années 1950, dans un programme de classification : celle des applications génériques, réelles, de R n dans R p , s’inscrivant dans la perspective des travaux de Hassler Whitney (1907-1989). En se focalisant sur les singularités, il tient une ébauche de résultat dès 1956, laquelle évoluera dans les années 1960 en une classification distinguant sept catastrophes élémentaires 997 .
En parallèle aux travaux de Smale, Thom aboutit au "problème de conjugaison topologique", selon les termes de Smale adoptés en 1961. Ils ont donc un objectif commun, celui de trouver un ensemble ouvert, dense de difféomorphismes (ces deux topologues se sont, en fait, inspirés de la notion de "généricité" 998 introduite par Thom). Mais les démarches et les outils adoptés par les deux mathématiciens sont assez différents. En effet, dans l’optique de Smale, il s’agit de recourir à la notion de stabilité structurelle et la dynamique qualitative de Birkhoff pour résoudre le problème ; pour Thom, ce sont les singularités qui déterminent les difféomorphismes et permettront de répondre au problème. En outre, Smale procède par différents essais pour deviner les bons axiomes ; Thom cherche, lui, vraiment à classifier les singularités, à formaliser ses intuitions et s’engage dans des mathématiques extrêmement techniques.
[AUBIN, D., 1998a], p. 333.
Durant l’année 1951-52, Thom a étendu la notion de généricité issue de la géométrie algébrique, aux structures différentiables. ([AUBIN, D., 1998a], p. 128)