a. Les deux théorèmes ergodiques : vers la transitivité métrique et la théorie ergodique

La recherche en Mécanique statistique est, rappelons-le, fortement orientée par la synthèse des Ehrenfest, après sa publication en 1911. L’hypothèse ergodique, assouplie en hypothèse quasi-ergodique, qui est destinée à légitimer le traitement statistique de la Mécanique et l’unicité de la distribution stationnaire (microcanonique), se décline en deux formulations : les moyennes temporelles et spatiales (dans l’espace des phases) sont égales ; le temps passé par une trajectoire de l’espace des phases dans une région est proportionnel à la taille de cette région.

Les deux premiers théorèmes ergodiques, de Von Neumann et Birkhoff, s’en inspirent mais vont surtout modifier les perspectives. La notion d’ergodicité va être transformée et s’ouvrira rapidement sur des réflexions plus proches des probabilités. Cependant, sous l’impulsion de Birkhoff, elle est articulée par les questions de dynamique, dans sa conception, et donne naissance à la "théorie ergodique", laquelle deviendra la théorie ergodique des systèmes dynamiques, en se détachant de ses racines physiques.