La formulation mathématique précise, dans le cadre des systèmes dynamiques et la théorie de la mesure, participe à autonomiser le sujet de la théorie ergodique. Parallèlement à l’indépendance mathématique acquise par la théorie des systèmes dynamiques, avec Birkhoff, la théorie ergodique est en train de se définir comme la théorie des systèmes dynamiques préservant une mesure 1076 .
Cependant, malgré sa percée dans le domaine, Birkhoff abandonne le sujet aussi vite qu’il y est venu. Il n’aura produit qu’un résultat, décisif. Von Neumann ne s’investit pas non plus outre mesure dans cette recherche. L’effort de Birkhoff contribue néanmoins au timide développement du sujet à Harvard. Il faut dire que Koopman est déjà son élève et qu’un autre mathématicien très adroit est présent au moment où se développent ces problèmes, Eberhard Hopf.
L’autonomisation par rapport aux fondements de la Mécanique statistique va provoquer une ouverture dans plusieurs directions, tournées vers les mathématiques pour la plupart. L’interrogation sur l’ergodicité se métamorphose en une recherche des systèmes métriquement transitifs. Cependant, cette option n’est pas exclusive. Dans un rapport constant aux théories des probabilités, la problématique de l’ergodicité poursuit son évolution. Le travail d’Eberhard Hopf, en parallèle à ceux des mathématiciens soviétiques, en est très représentatif.
Avec Birkhoff, les systèmes considérés sont les systèmes Hamiltoniens, qui préservent la mesure (le volume de l’espace des phases). La généralisation viendra d’autres mathématiciens contemporains, dont E. Hopf, N. Kryloff et N. Bogoliuboff en particulier (cf. note , p. 465).