à Harvard

Revenons au préalable, brièvement, sur son entrée en théorie ergodique. Il a publié un article, souvent passé sous silence, le 4 décembre 1931, intitulé "On the time average theorem in dynamics" ¹⁰⁷⁸ , exactement entre ceux de Birkhoff et de Von Neumann. L’article contient leurs deux résultats : Hopf était donc intéressé par le sujet avant cette date et il bénéficie d’un environnement certainement très propice à cette problématique. Mais Hopf produit plus qu’une mosaïque de résultats. Il les expose, explicite leurs différences, les rend accessibles (plus que n’importe quel article sur le sujet à l’époque) et traduit même mieux les problèmes et les résultats de la théorie ergodique que le texte de Birkhoff et Koopman.

Tous les textes sur les théorèmes ergodiques dont nous avons parlés sont dans les livraisons 17 et 18 des Proceedings of the National Academy of Science de 1931-32. Il faut encore en ajouter deux de Hopf, qui sont très rarement cités. Dans le premier, "Complete transitivity and the ergodic principle" ¹⁰⁷⁹ , en 1932, Hopf examine le problème du mélange des liquides, discuté par Poincaré ¹⁰⁸⁰  : Hopf affirme que la transitivité métrique n’est pas suffisante pour expliquer le phénomène, qu’il a, au préalable, formulé mathématiquement. En outre, il s’écarte de la dynamique Hamiltonienne en considérant plus généralement les transformations qui préservent la mesure. La théorie ergodique selon Birkhoff n’est donc pas si limpide que ce qu’il prétend à l’issue de son théorème ergodique. Le second traite de Mécanique statistique, "Proof of Gibbs hypothesis on the tendency toward statistical equilibrium" ¹⁰⁸¹ , la même année. Hopf cherche les conditions pour lesquelles un système de la Mécanique statistique tend vers un état d’équilibre stationnaire, quelque soit la distribution initiale.

En définitive, parmi les mathématiciens investis dans le problème de l’ergodicité, aux Etats-Unis, Hopf est le seul à tenter de répondre aux questions posées originellement, c’est-à-dire avant les Ehrenfest, ou en rapport direct avec leur principe ergodique.