Retour en Allemagne, 1936

L’année 1936 marque un tournant dans la vie de Hopf : il retourne en Allemagne, sous le régime nazi, qui lui offre un poste de professeur à Leipzig, ce qu’il accepte, non sans critique de la part de ses collègues aux Etats-Unis. Coupé des discussions avec les mathématiciens de Harvard et du MIT (c’est-à-dire l’entourage de Birkhoff et Norbert Wiener, qui est lui aussi intéressé par la théorie ergodique), Hopf semble se désintéresser de la théorie ergodique. Il ne produit pratiquement plus sur le sujet, si ce n’est son célèbre opuscule de 1937, Ergodentheorie, une synthèse très remarquable. Cet ouvrage doit son importance au fait qu’il est unique en son genre avant les années 1950, puisque personne d’autre n’a tenté de synthèse, et son influence se fera sentir très rapidement, avec les réflexions du physicien N.S. Krylov. Il faut également souligner sa présentation abstraite et très générale qui traduit la mathématisation et l’autonomisation entamée avec Birkhoff.

Dans le prolongement de l’article de 1934, Hopf reprend les notions clés et rappelle au lecteur que :

‘"en faisant abstraction de l’intérêt mathématique que ces questions [de théorie ergodique] méritent, leur importance réside dans le fait qu’elle nous apportent une compréhension des phénomènes de fréquences dans la nature." 1086

La notion de mélange est reprise et Hopf en donne des exemples, telle la transformation du Boulanger. Dans le dernier chapitre, il évoque une partie de sa recherche plus récente au sujet des géodésiques des surfaces à courbures négatives. Rappelons qu’Hadamard avait étudié le problème en 1898 et donné une classification des comportements des géodésiques 1087 , tandis que Birkhoff l’évoquait comme modèle pour ses mouvements récurrents. Hopf, en collaboration avec Gustav Hedlund 1088 à Harvard, a entamé, vers 1935, la recherche des propriétés d’ergodicité du mouvement géodésique. En 1939, les deux mathématiciens parviennent séparément 1089 à montrer le caractère mélangeant du flot géodésique (dans le cas compact), qui est le point culminant de cette recherche.

L’ouvrage de 1937 est un aboutissement de la théorie ergodique, et en même temps un terme dans les recherches de Hopf sur les fondements des probabilités et l’ergodicité, hormis la question des géodésiques. On peut s’interroger sur ce désintérêt pour l’ergodicité. Il est probable que la proximité avec Werner Heisenberg, lui aussi à l’Université de Leipzig, ne soit pas étrangère à cela 1090 . En effet, Hopf s’intéresse à la Mécanique quantique en 1937 : l’interprétation du hasard et des probabilités dans ce cadre théorique est en rupture avec les conceptions classiques. On peut imaginer que Hopf ne juge plus nécessaire de recourir à la théorie ergodique pour justifier du hasard, ce qui avait motivé une partie de ses recherches. Enfin, Hopf mentionne, très brièvement, que

‘"les constructions conceptuelles de la théorie ergodique ne sont pas seulement importantes pour les systèmes avec une succession d’états fortement déterministe. Ils sont aussi applicables lorsque les états successifs ne sont connus qu’avec des probabilités, et conduisent à beaucoup de lois de régularités plus simples." 1091

Il ne fait qu’une rapide allusion à ces considérations, plus probabilistes, qu’il n’a d’ailleurs jamais évoquées auparavant : vraisemblablement, elles étaient dénuées d’intérêt dans le cadre fréquentiste. Pourtant ces résultats constituent un pan important de la théorie ergodique, dont le mathématicien A. Khinchin est un des premiers représentants : ce sont des considérations proches de la théorie des probabilités et qui se développent en URSS surtout.

Notes
1086.

"Abgesehen von dem rein mathematischen Interesse, das diese Fragestellungen verdienen, beruht ihre Bedeutung darin, dass sie uns das Verständnis für die stabilen Häufigkeiterscheinungen in der Natur vermitteln.", introduction de [HOPF, E., 1937].

1087.

Hadamard avait produit la première classification des géodésiques dans ce cas, [HADAMARD, J., 1898]. Nous renvoyons au chapitre 1, page 70, où nous présentons les travaux d’Hadamard dans leur contexte de la fin du XIXème siècle et les rapports aux travaux de Poincaré.

1088.

Hedlund a fait sa thèse (soutenue en 1930) avec Morse, sur le sujet : "Geodesics on a two-dimensional Riemannian manifold with periodic coefficients" (1ère partie de la thèse).

1089.

Dans deux articles séparés : [HEDLUND, G., 1939], [HOPF, E., 1939].

1090.

Heisenberg est professeur de physique théorique à Leipzig de 1927 à 1941.

1091.

"die Begriffsbildungen der Ergodentheorie nicht nur für Systems mit streng determinierten Zustandsfolgen von Wichtigkeit sind. Sie sind auch, wenn die aufeinanderfolgenden Zustände nur durch Warscheinligkeiten verknüpft sind, anwendbar und führen dort zu viel einfacheren Gesetzmässigkeiten.", fin de l’introduction de [HOPF, E., 1937].