Le "chaos" de Wiener

Nous inscrirons un dernier résultat dans cette perspective, le "chaos" de Norbert Wiener. Ce mathématicien américain s’est intéressé au mouvement brownien avec lequel il s’est familiarisé dès 1919, au département de mathématiques du M.I.T., où il cherchait les propriétés mathématiques du phénomène. D’après P.R. Masani 1103 , ce serait les études de G. Taylor sur la turbulence, en 1920, et les théorèmes ergodiques de Von Neumann et Birkhoff qui auraient orienté Wiener vers l’idée d’en faire une sorte de paradigme pour l’analyse des phénomènes stochastiques. Il en a proposé une formalisation mathématique, associée à une théorie générale de l’analyse harmonique, construite entre 1924 et 1930.

Wiener est également un spécialiste de théorie ergodique 1104 . C’est au carrefour de ses préoccupations pour les processus aléatoires et de la théorie ergodique, au sujet de la turbulence, qu’il conçoit, en 1938, la notion de "chaos homogène" 1105 . En restant schématique, un "chaos" est une formalisation, en termes de la théorie des processus aléatoires et de la théorie de la mesure de Lebesgue, de la notion d’ensemble de Gibbs. La théorie du mouvement brownien correspond à un "chaos" unidimensionnel 1106 . Wiener recherche en fait une théorie généralisant le mouvement brownien à n dimensions ainsi qu’un théorème ergodique étendu, multidimensionnel. Wiener espère tirer de cette théorie une formulation de la Mécanique statistique hors équilibre et de la théorie ergodique, à base de processus stochastiques.

Wiener établit plus un programme qu’un résultat définitif pour ces difficiles questions de physique statistique. Cependant, la tentative est très significative du contexte de développement des études des processus stochastiques, en relation avec les théorèmes ergodiques. En outre, par contraste avec les notions de chaos postérieures à 1975, nous pourrions qualifier la conception de Wiener de "chaos indéterministe" : elle appartient plutôt à l’histoire de la théorie des probabilités, alors que le "chaos déterministe" s’inscrit dans l’histoire des systèmes dynamiques. Mais ce sont des distinctions plus récentes, alors que, dans les années 1930, elles participent à deux élans très voisins (voire d’un élan unique). Ainsi, ce qui pourrait sembler être une digression à un spécialiste du chaos "déterministe", n’en est pas une, historiquement.

Les années 1930 sont donc un formidable creuset de conceptions, prolongeant les problématiques de la fin du XIXème siècle grâce à des interactions entre la théorie des systèmes dynamiques, la théorie ergodique et la théorie des probabilités.

Cependant, en rapport avec les développements des années 1970 nous intéressant, l’importance des concepts les plus proches des probabilités, comme le "chaos" de Wiener, s’estompe progressivement. Dans la suite de notre chapitre nous nous occuperons surtout des problèmes de la théorie ergodique des systèmes dynamiques, en train de s’autonomiser et qui traversent un nouvel environnement scientifique et culturel, l’URSS.

Notes
1103.

Un des meilleurs biographes de Wiener. Cf. [MASANI, P.R., 1990].

1104.

Voir le chapitre 12 de la biographie de Wiener, [MASANI, P.R., 1990], p. 139-159. Wiener a notamment collaboré avec Hopf, en 1931 (ibid., p. 139). Selon Masani on peut qualifier la position de Wiener de "ergodic stochasticism" : "he almost invariably treated signals in the class S of G.H.A. [General Harmonic Analysis] as trajectories of a stationary stochastic process governed by a measure-preserving flow over a probability space, and used the Birkhoff ergodic theorem whenever possible." (ibid., p. 149). En cela, il est influencé par les theories de Khinchin et Kolmogorov. Wiener, dans son autobiographie I am a mathematician, détaille :

"My research at this time [1927-31] received a ready reception in Russia and was in close relation with the work of some of the Russian mathematicians. I had long had a peculiar sort of contact with the leading Russian mathematicians, although I had never met any of them nor, I believe, ever been in correspondence with them. Khintchine and Kolomogoroff, the two chief Russian exponents of the theory of probability, have long been involved in the same field in which I was working. For more than twenty years, we have been on one another's heels; either they had proved a theorem which I was about to prove, or I had been ahead of them by the narrowest of margins. This contact between our work came not from any definite program on my part nor, I believe, from any on theirs but was due to the fact that we had come into our greatest activity at the same time, with about the same intellectual equipment.", [WIENER, N., 1956], p. 145.

1105.

Défini dans son article du même nom, [WIENER, N., 1938]. Avec le mathématicien Aurel Wintner, en 1943, il étudie le cas du "chaos discret", [WIENER, N., WINTNER, A., 1943].

1106.

"Of all the forms of chaos occurring in physics, there is only one class which has been studied with anything approaching completeness. This is the class of types of chaos connected with the theory of the Brownian motion. Physical theories of chaos, such as that of turbulence, or of the statistical theory of a gas or a liquid, may or may not be theories of equilibrium. In the general case, the statistical state of a chaotic system, subject to the laws of dynamics, will be a function of the time. The laws of dynamics produce a continuous transformation group, in which the chaos remains a chaos, but changes its character [...]", [WIENER, N., 1938], p. 899.