Le mélange et l’instabilité mécanique

Sa critique est développée tout au long de ses travaux, en même temps qu’il propose une alternative avec les systèmes mélangeants. L’argumentaire de Krylov est assez ample.

La source principale d’inspiration lui vient des travaux de Hopf sur les géodésiques des surfaces à courbure négative, en particulier de son ouvrage Ergodentheorie qui contient la démonstration que le flot géodésique de surfaces à courbure négative est mélangeant ; il puise également dans les travaux plus avancés de Hopf et Hedlund, achevés en 1939, l’année où Krylov commence son travail de thèse 1115 .

La première partie de sa thèse est consacrée au cas du gaz parfait, vu comme un ensemble de sphères dures en collisions élastiques. Krylov donne à ce modèle un équivalent sous forme d’un problème de géodésique, puis étudie la "divergence des lignes géodésiques" 1116 . Il parvient ainsi à montrer que deux géodésiques voisines s’écartent de manière exponentielle avec le temps et quantifie précisément le taux de divergence. Il détermine ensuite le temps de relaxation du système grâce à ces considérations de théorie des géodésiques, pour aboutir à un résultat comparable à la théorie cinétique classique.

Dans la suite de sa thèse, Krylov définit plus généralement la notion de "mouvement de type mélangeant" 1117 . Il s’en suit plusieurs résultats, appuyés de manière essentielle sur les travaux de Hopf et il dévoile une méthode, présentée comme universelle, pour étudier l’instabilité :

‘"Cette méthode de réduction d’un problème mécanique au problème de l’étude de la divergence des géodésiques d’un espace riemannien correspondant au principe variationnel de Jacobi, se montre être une méthode universelle pour étudier l’instabilité mécanique des systèmes." 1118

Pour cela, Krylov reformule le problème du mouvement d’un système mécanique conservatif à n degré de liberté sous forme de géodésiques: il en existe une formulation variationnelle, issue de la Mécanique classique, laquelle s’exprime elle-même sous forme d’un flot de géodésiques sur un espace de Riemann, dont la métrique est déterminée par les caractéristiques du problème variationnel 1119 . Ainsi, le caractère mélangeant correspond à des conditions sur la métrique 1120 , obtenues sur la base des résultats de divergence des géodésiques 1121 .

Pour Krylov, l’instabilité mécanique et la divergence des géodésiques se répondent et il propose une méthode d’étude de l’instabilité se fondant sur la théorie des géodésiques 1122 . La thèse de Krylov, en associant ces problèmes au mélange, montre toute l’importance de l’instabilité mécanique en physique statistique.

Notes
1115.

"This result, derived by Hedlund and Hopf, will serve as a starting point for our subsequent discussion", [KRYLOV, N.S., 1979], p. 213. Le paragraphe "Mixing in the phase space" ([KRYLOV, N.S., 1979], p. 212-217) explicite ces résultats.

1116.

Le paragraphe "The divergence of geodesic lines" ([KRYLOV, N.S., 1979], p. 196-202) contient la démonstration en question.

1117.

"mixing-type motion", [KRYLOV, N.S., 1979], p. 212. Son second, et dernier, chapitre ("B. Mixing in the Phase space") est entièrement consacré à la question.

1118.

"[…] this method of reducing a mechanical problem to the problem of studying the divergence of geodesics in a corresponding Riemannian space of the Jacobi variationnal principle proves to be a universal method for studying the mechanical instability of systems", [KRYLOV, N.S., 1979], p. 195.

1119.

[KRYLOV, N.S., 1979], p. 214.

1120.

[KRYLOV, N.S., 1979], p. 217.

1121.

"[…] the proof of the establishment of a uniform distribution of probabilities, which was given above, that is, the proof of mixing, was based essentially on the possibility of reducing the problem of solving the equations of motion of pure mechanics to the problem of finding the geodesic lines of a corresponding Riemannian space.",  [KRYLOV, N.S., 1979], p. 230.

1122.

Krylov ne mentionne pas Hadamard, ni Poincaré à ce sujet. Il reprend le sujet tel que Hopf l’a présenté.