Le spectre

Le spectre est une notion construite par à Von Neumann et Koopman en 1932 ¹¹³⁷ .

Cette notion repose sur la transformation de Koopman qui permet d’associer à une transformation T de (M, μ) préservant la mesure, un opérateur K _T dans l’espace L ₂ (M, μ), unitaire. L’isomorphisme entre deux transformations T et U, produit un isomorphisme entre les K _T et K _U . Le spectre de T est défini comme étant le spectre de l’opérateur K _T sur L ₂ (M, μ). De plus, lorsqu’il existe une base de L ₂ (M, μ) construite avec des fonctions propres de K _T , on dit que T a un spectre discret (ou ponctuel).

En 1942, le premier résultat de classification important a été démontré par Von Neumann et Paul Halmos ¹¹³⁸  : il stipule que deux transformations à spectre discret sont isomorphes si et seulement si elles ont même spectre. Ce qui fait du spectre un invariant représentatif des transformations. Ce théorème ne signifie pas pour autant que le problème de classification est résolu : non seulement il reste l’autre cas, celui où le spectre est continu, mais ce cas est plus compliqué, car le spectre ne donne pas assez d’information sur le système pour espérer une classification.

Avant l’intégration d’une nouvelle notion d’entropie pour de telles transformations, la classification se limite à quelques grandes lignes. Hopf a formulé une notion de "mélange faible" et a montré en 1937 que lorsque le spectre d’une transformation préservant la mesure, ergodique (au sens de la transitivité métrique), est continu, la transformation est faiblement mélangeante. Les grandes classes de comportements sont donc, de la plus générale à la plus restrictive : les transformations ergodiques (ensemble E), faiblement mélangeantes (ensemble FM), mélangeantes (ensemble M). En 1948, Rokhlin ¹¹³⁹ est parvenu à montrer que la plupart des transformations de E ont un spectre continu, et que, dans un sens topologique, l’ensemble M n’occupe qu’une faible portion de FM. Le résultat de 1944 de Halmos ¹¹⁴⁰ complète cette classification en affirmant que les transformations de FM occupent presque tout l’ensemble E.