Exposants de Lyapounov

Les résultats de Sinaï ont avivé une autre recherche dans ces considérations de propriétés ergodiques des systèmes dynamiques, au sujet des exposants de Lyapounov. Dans les développements postérieurs à 1975 nous avons vu l’importance du "théorème ergodique multiplicatif" d’Oseledec pour assurer l’emploi des exposants de Lyapounov en tant que moyen de caractérisation de la divergence des trajectoires voisines d’un système dynamique. En 1968, Oseledec inscrit son résultat dans cette perspective :

‘"Cette recherche repose sur le travail de Sinaï à propos des théorèmes d’entropie pour les systèmes dynamiques classiques. A partir de ces résultats il est devenu clair qu’une entropie positive dans les systèmes dynamiques classiques est reliée à la divergence exponentielle d’orbites provenant de deux points voisins. Du fait de cette connexion l’auteur s’est intéressé au problème de divergence exponentielle." ¹¹⁵⁵ ’

Le contexte déjà très fourni intègre donc des éléments supplémentaires hérités des travaux du mathématicien russe Lyapounov sur la stabilité, à la fin du XIXème. Il convient de noter qu’il s’agit d’une adaptation des nombres définis par Lyapounov et, si la science occidentale a pu "oublier" ce point particulier des résultats de Lyapounov, les chercheurs soviétiques l’ont fait fructifié. L’ouvrage de Nemytskii et Stepanoff, Théorie qualitative des équations différentielles ¹¹⁵⁶ , publié en russe en 1949, dresse un bilan des résultats sur ces exposants et propose des moyens pour les estimer. Nemytskii participe également à un second ouvrage de 1966, en russe, intitulé Théorie des nombres caractéristiques de Lyapounov ¹¹⁵⁷ . Oseledec se réfère à ce document proposant un panorama assez complet.