Premières conclusions

Plusieurs chapitres des mathématiques et de la physique participent aux développements conceptuels présentés, mais il n’y a pas de frontières entre ce qui pourrait sembler être des spécialités ; Kolmogorov, Arnold, Sinaï, Anosov exercent conjointement dans tous ces domaines. A un niveau plus philosophique, on peut dire que c’est la stochasticité, l’apparition de propriétés statistiques en Mécanique classique, ou encore la question des fondements de la Mécanique statistique qui fédèrent ces divers problèmes. C’est en ce sens qu’il est possible de parler d’une culture de la stochasticité.

En revanche, les exfiltrations en direction de la science occidentale restent très éparses et il n’existe pas, à notre connaissance, d’environnement scientifique où les mêmes thématiques sont développées en harmonie. Au cours des années 1960, Smale reprend des éléments utilisés par Anosov, tout en apportant aux mathématiciens soviétiques qu’il rencontre ses méthodes particulières en mathématiques des systèmes dynamiques ¹¹⁵⁸ . L’hyperbolicité intègre l’instabilité dans l’analyse globale des systèmes dynamiques, mais le processus laisse les aspects stochastiques et les considérations de Mécanique statistique de côté. En ce sens, l’ouvrage de synthèse Les propriétés ergodiques de la mécanique classique, qui sera traduit en anglais en 1968, complète remarquablement bien le "Differentiable dynamical systems" de Smale.

A la fin de la décennie, en 1969, lors du symposium "Statistical mechanics at the turn of the decade" organisé pour commémorer le 70ème anniversaire du physicien G.E. Uhlenbeck, le physicien américain A.S. Wightman propose un bilan sur la question de l’ergodicité. Les travaux soviétiques y sont au premier plan. Wightman affirme ainsi :

‘"Il n’est pas déraisonnable de penser que les K-systèmes possèdent le genre d’irréversibilité typique, qui fait d’eux des sujets appropriés pour la mécanique statistique. La théorie de la K-S-entropie devrait être regardée comme un premier pas […] en direction d’une théorie rigoureuse de l’approche à l’équilibre." ¹¹⁵⁹ ’

Il ajoute à propos des résultats sur les billards : "le résultat de Sinaï établit une fois pour toute que la Mécanique statistique d’un système mécanique isolé va comme les Pères Fondateurs l’ont suggéré…" ¹¹⁶⁰ . En 1969, les physiciens sont donc conviés à prendre conscience de ces résultats. Cet appel montre également que les résultats, tout mathématiques qu’ils soient, sont accessibles aux physiciens. On peut y voir la capacité des mathématiciens soviétiques à parler leur langage, à comprendre les problématiques et à associer les résultats mathématiques aux problèmes de la physique. Nous comprendrons également par la suite qu’autour de 1970 l’instabilité commence à se faire une place dans la science occidentale, alors qu’elle a déjà fortement imprégné les réflexions en URSS depuis les travaux de Krylov.

Bien que nous nous soyons beaucoup intéressés aux relations entre l’instabilité et l’ergodicité, la stochasticité est en fait une problématique plus large et plus complexe. En abordant maintenant le théorème KAM et les résultats relatifs aux propriétés de stabilité des systèmes dynamiques, nous apporterons une touche supplémentaire à ce tableau.