L’exemple de l’analyse de Fermi en 1923 est très emblématique. Il pensait valider l’hypothèse quasi-ergodique 1194 grâce à un théorème de Poincaré, affirmant qu’il n’existe pas d’autre intégrale analytique, uniforme que l’énergie (et les constantes classiques) dans un système mécanique. Rappelons que Poincaré avait obtenu ce résultat dans ses travaux de Mécanique céleste 1195 . Avant que les théorèmes ergodiques de Von Neumann et Birkhoff ne viennent clarifier la situation, Fermi adopte l’hypothèse en s’appuyant sur le théorème de Poincaré et en adjoignant une condition d’indépendance linéaire des résonances 1196 . Pour Fermi, la Mécanique statistique d’équilibre trouve ainsi une base solide et sa surprise est d’autant plus grande lorsque l’expérience numérique lui révèle que l’équilibre n’est pas atteint, dans un système pourtant très simple.
Il analyse la quasi-ergodicité, après que Plancherel a montré l’impossibilité de l’hypothèse ergodique des Ehrenfest. [FERMI, E., 1923], p. 261.
Cf. chapitre 1, p. 50.
C’est-à-dire Σ n k .w k = 0 pour aucun autre ensemble {n k } que n i =0 pour tout i (w k correspondant aux résonances du système). [FERMI, E., 1923], p. 265. Par une interprétation géométrique dans l’espace des phases, Fermi annonce qu’il n’existe pas de famille de surface divisant l’espace et ayant la propriété qu’un mouvement entamé sur une surface, reste sur la surface. En conséquence de quoi, le mouvement mécanique traverse tout domaine de l’espace des phases, autrement dit, le système est quasi-ergodique.