1. Le dernier théorème géométrique de Poincaré

A la toute fin de sa vie Poincaré est revenu sur le problème des trois corps et la question de la densité des solutions périodiques. Nous avons vu au chapitre 1 que Poincaré s’était lancé dans son étude du problème des trois corps avec la conviction de l’existence d’une infinité de solutions périodiques et de leur densité. C’est l’objet de ce dernier théorème, dont il laisse la démonstration inachevée, que d’apporter des éléments de réponse dans un cas élargi : il ne considère plus de restriction sur le paramètre μ, la masse du troisième corps dans le problème restreint. Le résultat partiel est publié quelques semaines avant sa mort, en 1912 ¹⁸⁶⁵ . Il a travaillé deux années déjà sur le problème ¹⁸⁶⁶ . En introduction il indique d’emblée à quel point le résultat lui paraît important mais aussi qu’il ne parvient pas à le démontrer pleinement, malgré de nombreux efforts déployés.

Ce dernier théorème est l’aboutissement de toute une construction à propos des solutions du problème des trois corps. Poincaré échafaude une série de transformations et d’équivalents au problème pour arriver à simplifier la difficulté. Il parvient à convertir le sujet en une question de transformation ponctuelle plane dont il suffit d’étudier les points fixes. Son théorème géométrique peut s’énoncer ainsi : imaginons une transformation d’un anneau (portion comprise entre deux cercles de rayons différents) vers lui-même, qui fait tourner les cercles frontières en sens opposé et qui conserve les aires, alors elle admet deux points fixes.

Le théorème est démontré quelques temps après, en 1913, par G. D. Birkhoff, un jeune mathématicien américain ¹⁸⁶⁷ . Par son élégante démonstration du théorème, Birkhoff s’inscrit dans la lignée de Poincaré au sujet de l’étude qualitative des équations différentielles, dès ce début de XXème siècle.