Glossaire

Nous voulons donner ici quelques idées sur les concepts souvent très techniques rencontrés au cours de cette thèse. Nous reprenons la présentation des scientifiques, en essayant de simplifier au maximum ce qui peut l'être.

Exemple :

Les notions d'étirements-repliements permettent de mieux comprendre la formation de tels attracteurs. L'étirement (figure A) correspond au phénomène de "sensibilité aux conditions initiales" c'est-à-dire à l'écartement de trajectoires voisines. Le repliement (figure B) est le résultat du confinement du système : si les trajectoires prennent dix fois plus de place parce qu'elles sont étirées, il faut les replier pour les faire rentrer dans le même espace. La conséquence de ces deux tendances est le mélange très rapide de toutes les trajectoires et la formation d'un attracteur (figure C : l'attracteur de Rössler).

L’Axiome A, pour un difféomorphisme f, est le suivant : "(a) l’ensemble Ω des points non-errants est hyperbolique. (b) les points périodiques de f sont denses dans Ω." (cf. [SMALE, S., 1967], p. 777). Lorsque f vérifie l’axiome, on dit aussi que f est hyperbolique.

Un ensemble invariant Ω est hyperbolique lorsque le faisceau tangent de la variété M, restreint à l’ensemble Ω, peut se scinder en deux parties, sur lesquelles la dérivée de l’application opère comme une contraction sur l’une, une expansion sur l’autre.

L’expérience imaginée par Maxwell est la suivante. Deux enceintes contenant des molécules d’un gaz : A est l’enceinte "chaude", B la "froide" ; elles sont reliées par un clapet. Un petit être intelligent est capable de discerner les vitesses des molécules. A l’approche de molécules de A dont la vitesse est inférieure à la moyenne des vitesses de B, il ouvre le clapet (sans dépense de travail). Il réalise l’opération inverse avec les molécules de B plus rapides que celles de A. L’énergie de l’enceinte A augmente, celle de B diminue ; autrement dit l’enceinte A a été chauffée en même temps que B a été refroidie, sans fournir de travail pour cela. L’intention de Maxwell est de montrer que le second principe ne repose que sur une certitude statistique et sur notre incertitude vis-à-vis des phénomènes microscopiques. [SKLAR, L., 1993], p. 38-39.

‘" L'état présent du système de la Nature est évidemment une suite de ce qu'il était au moment précédent, et si nous concevons une intelligence qui, pour un instant donné, embrasse tous les rapports des êtres de cet Univers, elle pourra déterminer pour un temps quelconque pris dans le passé ou dans l'avenir la position respective, les mouvements et, généralement, les affections de tous ces êtres.’ ‘L'astronomie physique, celle de toutes nos connaissances qui fait le plus d'honneur à l'esprit humain, nous offre une idée, quoique imparfaite, de ce qui serait une semblable intelligence. La simplicité de la loi qui fait mouvoir les corps célestes, les rapports de leurs masses et de leurs distances permettent à l'Analyse de suivre, jusqu'à un certain point, leurs mouvements, et pour déterminer l'état du système de ces grands corps dans les siècles passés ou futurs, il suffit au géomètre que l'observation lui donne leur position et leur vitesse pour un instant quelconque : l'homme doit alors cet avantage à la puissance de l'instrument qu'il emploie et au petit nombre de rapports qu'il embrasse dans ses calculs, mais l'ignorance des différentes causes qui concourent à la production des événements, et leur complication jointe à l'imperfection de l'Analyse, l'empêchent de se prononcer avec la même certitude sur le plus grand nombre des phénomènes…"’

Les idées exposées par Laplace sont en fait une justification de l'usage de la "science des hasards ou des probabilités", car, selon lui, les faiblesses de l'esprit humain l'empêchent d'accéder à une prédiction absolue.

Popper, dans [POPPER, K., 1984], donne deux définitions du déterminisme "scientifique" qui sont le produit de ses réflexions sur le déterminisme laplacien :

‘"Le déterminisme ‘scientifique’ est la doctrine selon laquelle l'état de tout système physique clos à tout instant futur peut être prédit, même de l'intérieur du système, avec n'importe quel degré de précision stipulé, en déduisant la prédiction de théories, en conjonction avec des conditions initiales dont le degré requis de précision peut toujours être calculé dès lors que le projet de prédiction est donné."’

C'est la version faible du déterminisme scientifique. La version forte inclut la capacité à "prédire, pour tout système, si un événement d'un type donné y aura jamais lieu".

‘"1. Small errors in the coarser structure of the weather pattern – those features which are readily resolved by conventional observing networks – tend to double in about three days. As the errors become larger the growth rate subsides. This limitation alone would allow us to extend the range of acceptable prediction by three days every time we cut the observation error in half, and would offer the hope of eventually making good forecasts several weeks in advance.’ ‘2. Small errors in the finer structure – e.g., the positions of individual clouds – tend to grow much more rapidly, doubling in hours or less. This limitation alone would not seriously reduce our hopes for extended-range forecasting, since ordinarily we do not forecast the finer structure at all.’ ‘3. Errors in the finer structure, having attained appreciable size, tend to induce errors in the coarser structure. […] Cutting the observation error in the finer structure in half – a formidable task- would extend the range of acceptable prediction of even the coarser structure only by hours or less. The hopes for predicting two weeks or more in advance are thus greatly diminished.’ ‘4. Certain special quantities such as weekly average temperatures and weekly total rainfall may be predictable at a range at which entire weather patterns are not." [ABRAHAM, R., UEDA, Y., 2000], p. 92-3.’

Les ensembles ont une dimension fractale (ln2/ln3≈0,63…).

Une coordonnée de l'espace des phases d'un système correspond à un degré de liberté. La notion de degré de liberté est à peu près claire pour les systèmes dissipatifs, mais parfois ambiguë quand il s'agit de systèmes Hamiltoniens : dans ce cas, un degré de liberté correspond à une paire de variables dites canoniques.

Une équation différentielle est linéaire s'il a une relation linéaire entre la fonction et ses dérivées. La propriété la plus remarquable est qu’on sait souvent résoudre analytiquement ce type d’équation.

Plus précisément, il y a sensibilité aux conditions initiales (au sens de Ruelle) lorsque la croissance des perturbations est exponentielle. Cette croissance est alors mesurée par les exposants de Lyapounov.