L’emprunt à la « théorie des graphes » : une topologie graphique

À partir de 1954, Rashevsky considère que toutes les approches antérieures auxquelles il a lui-même longtemps participé en biologie mathématique étaient autant de constructions de « modèles physico-chimiques » 748 et que le moment est venu non pas de renoncer à cette façon de faire, car elle garde certains avantages, mais de lui adjoindre une approche axée sur les relations organiques qu’il qualifie de « qualitatives » 749 . Il est à remarquer que c’est à l’occasion de son changement de perspective épistémologique que le terme de « modèle » vient le plus souvent sous sa plume pour remplacer celui de « théorie ». Alors que, jusqu’en 1954, la physique devait être pour lui le terrain de base d’une intelligibilité théorique pour la biologie et ses principes, elle devient par la suite un simple réservoir de modèles. Pour Rashevsky, ce qu’il qualifie rétrospectivement de « modèle physico-chimique » garde toutefois le double mérite d’expliquer (« explain ») 750 les processus biologiques et de les quantifier, c’est-à-dire de les rendre représentables par des métriques et donc testables et calibrables par l’expérience. Un modèle est intéressant pour lui si l’on se penche sur un cas particulier et si l’on veut en prédire quantitativement le devenir 751 . Mais ce qui lui apparaît manifestement à partir de 1954, c’est que, contrairement à ce qu’il croyait en 1938, cette activité de « théorisation » physicaliste, qui se révèle finalement être une activité de « modélisation », ne contribue pas du tout à faire naître cette partie fondamentale de la biologie mathématique qui devait être à la biologie mathématique globaliste de Lotka et Volterra ce que la physique statistique était à la thermodynamique. En 1954, Rashevsky ne croît donc plus que le fondement de la théorie biologique, c’est-à-dire d’une théorie du vivant, soit dans la physique. Sur ce point, il rejette la perspective physicaliste du premier Carnap et du Cercle de Vienne qui, un temps, avait été proche de la sienne.

Mais son désir de théorisation biologique ne disparaît pas pour autant et se reporte sur ce qu’il avait appelé dès 1944 les « principes » biologiques au contact des problèmes que lui posait la représentation mathématique de la morphogenèse. Pour Rashevsky, à partir de 1954, ce n’est donc plus le « physique » qui est fondamental en biologie, mais c’est le « principiel ». Son désir de fondement mathématique de la biologie demeure mais il est déplacé du « physique » au « principiel », parce que le « physique » est désormais réputé n’intervenir que dans une approche non-fondamentale de « modélisation » pragmatique et particulière des phénomènes biologiques. C’est la raison pour laquelle il ne s’inscrit pas en fait directement dans la filiation du relationnisme symbolique de Woodger. Nous avions certes déjà comparé le premier Rashevsky avec Woodger. Mais le second Rashevsky entretient un rapport différent avec l’approche axiomatique de son collègue britannique. Il en quête de principes biologiques qui ont une réalité effective et qui dessinent nettement car ontologiquement les frontières entre physique et biologie, alors que la préoccupation de Woodger est prioritairement logique voire linguistique 752 . L’essentiel d’une théorie biologique est son langage et sa construction axiomatique pour Woodger, alors que l’essentiel pour Rashevsky est ce à quoi cette théorie réfère, son référent ontologique. Ce qui peut donner l’impression que Rashevsky se rapproche alors de Woodger est le fait que le référent de sa théorie biologique soit en effet devenu plus abstrait en 1954 que dans sa période physicaliste. Mais Rashevsky n’en devient pas pour autant nominaliste ou logiciste. Il s’agit pour lui tout au plus d’une abstraction au sens de l’espace abstrait de Minkowski et de la théorie de la relativité générale d’Einstein, conceptions qu’il avait pratiquées, qu’il connaissait bien et auxquelles il se réfère fréquemment. En 1958, dans un chapitre intitulé « The Geometrization of Biology » et afin de justifier son recours à la mathématique nouvelle qu’est la topologie, il se plaît à citer en exemple ces travaux de physique théorique, cela au détriment de ses traditionnels appels (dans les années 1930) aux parallélismes entre physique statistique et biophysique mathématique 753 .

C’est donc un nouveau domaine de la physique théorique qui sert désormais de modèle à sa biologie théorique mais non pas au sens où ce domaine serait la théorie d’un substrat ontologique commun à la physique et à la biologie mais au sens où il est un simple paradigme épistémologique. Enfin, sur le tard, Rashevsky admet finalement que c’est tout de même la génétique formelle des lois de Mendel qui manifeste la plus grande réussite dans la découverte de principes biologiques réellement autonomes et formalisables. À partir de 1954, après l’avoir longtemps ignorée, il va d’ailleurs constamment situer sa démarche comme voisine de la génétique formelle 754 . Cette dernière devient même, selon lui, une branche de la biologie mathématique. Mais sa spécialisation et son ancienneté relative devraient nous inciter à la traiter à part pour la nommer « génétique mathématique » 755 . Ainsi et a posteriori, le domaine d’étude auquel, selon Rashevsky, s’attachent les travaux de son équipe de Chicago rassemble tout ce qui, dans la biologie mathématique, n’appartient pas à la génétique mathématique. Ce domaine est quant à lui toujours en quête de principes biologiques autonomes comme de formalisations adaptées à ces principes.

Il est possible enfin que Rashevsky, dans son mouvement vers la formalisation topologique de la biologie, réponde également à cette époque à une incitation qui est née auparavant en psychologie, avec les travaux de Kurt Lewin parus en 1936 dans Principles of Topological Psychology 756 . Rashevsky n’a en effet jamais renoncé à traiter le monde organique comme un tout et ce peut donc être tout autant, si ce n’est davantage, ces travaux de psychologie que ceux de chimie organique de Denes König (voir encadré) qui le mettent, à ce moment-là, sur cette voie. Si, en 1954, Lewin peut contribuer à lui donner cette idée d’employer la topologie, le psychologue n’a alors pourtant recours à aucune des techniques mathématiques que la topologie récente met à sa disposition 757 . Ces techniques mathématiques de la topologie des années 1930, Rashevsky va donc les quérir d’abord chez König.

La théorie des graphes
Dans un grand nombre de problèmes pratiques, on est amené à relier des entités (nombres, objets, lieux, villes, opérations, molécules…) les unes aux autres par des flèches ou arcs représentant des relations entre ces entités (une succession, une préférence, une route…). Depuis la formalisation commode du problème des sept ponts de Königsberg par Euler en 1736, on est convenu d’appeler « sommets » les entités représentées par les points, « arcs » ou « arêtes » les lignes qui les relient. D’après le mathématicien français Claude Berge, qui publiera un ouvrage de référence sur le sujet en 1958, le terme de « graphe » remonterait à l’ouvrage du mathématicien hongrois Denes König paru à Leipzig en 1936 : Theorie der Endlichen und Unendlichen Graphen 759 . C’est en tout cas cet ouvrage de König qui a contribué à signaler la généralité des problèmes de graphes telle qu’elle apparaîtra plus manifestement encore après la guerre, que ce soit en théorie des circuits électriques (avec les travaux antérieurs de Kirchhoff sur la matrice d’incidence 760 qui inspirèrent à Poincaré son « analysis situs » qui deviendra la topologie), en sociologie (avec les sociogrammes), en psychologie, en économie et gestion (diagrammes d’organisation), en recherche opérationnelle, etc. Dans son livre de 1936, König lui-même en proposait une application en chimie organique 761 .
À la différence de l’analyse combinatoire qui, selon Berge, « ne s’intéresse guère aux notions non généralisables à n dimensions » 762 , la théorie des graphes a pour caractéristique de se pencher sur des problèmes concrets où l’intuition peut constamment intervenir au moyen de dessins, cela afin de seconder la formalisation. La formalisation des graphes consiste en effet à définir des paires de sommets, des sommets successeurs puis prédécesseurs, des chemins, des circuits (chemins revenant sur eux-mêmes), des sous-graphes, des chaînes (ou séquences d’arcs), des cliques (ou sous-graphes complets c’est-à-dire des sous-graphes dans lesquels toute paire de sommets est reliée par un arc, ce terme de « cliques » venant des sociogrammes des psychologues 763 ), des cycles, des arbres, des forêts, des tournois, etc. Un grand nombre de théorèmes plus ou moins triviaux peuvent y être alors démontrés. Mais certains problèmes demeurent bien sûr ouverts. Comme on peut le comprendre, le recours à des termes concrets (chemins, cycles, cliques, arbres, tournois…), bien que très courant en mathématique, y est moins artificiel que dans les théories plus abstractives dans la mesure où l’impulsion conceptuelle y est majoritairement venue de disciplines diverses et plus concrètement orientées 764 .

Dans son article de 1954, Rashevsky propose donc une première approche topologique : par la théorie des graphes. Chaque fonction ou propriété biologique y est représentée par le sommet d’un graphe orienté 765 . C’est donc l’organisation fonctionnelle des organismes qui est l’objet principal de sa formalisation. Dans ce graphe, les arcs orientés représentent les relations binaires asymétriques de précession-succession entre les fonctions biologiques : « Ainsi le sommet I qui représente la propriété d’ingestion sera connecté par une flèche au point D qui représente la propriété de digestion, comme ceci : I → D. » 766 Par la suite, ayant représenté le fonctionnement global de plusieurs organismes de complexité variable par de tels graphes de précession-succession, il est possible de faire apparaître des applications épimorphiques entre ces différents graphes, c’est-à-dire des applications (au sens de l’algèbre) où des relations d’un sommet à plusieurs sommets (« one-to-many ») peuvent être représentées 767 . C’est ce que Rashevsky appelle le « principe de l’épimorphisme biologique ». Ainsi, lorsqu’elle est stimulée, une paramécie peut se mouvoir vers une particule de nourriture, l’ingérer, la faire migrer dans sa vacuole digestive, la digérer et enfin excréter les éléments non assimilables. De même, un oiseau vole vers un insecte qu’il a vu, l’avale, le digère dans son système gastro-intestinal, assimile les produits de la digestion et défèque les matériaux indigestes. Les plantes, d’une certaine manière, suivent des cycles d’opérations fonctionnelles tout à fait similaires, selon Rashevsky 768 . Cela signifie qu’il existe des similarités qualitatives indépendamment des différents mécanismes physico-chimiques mis en œuvre ponctuellement pour assurer telle ou telle fonction : « Le mécanisme de stimulation et de perception de la nourriture chez une paramécie est assez différent du mécanisme de stimulation et de perception de la nourriture chez un oiseau ou chez un autre animal. » 769 Il y a donc des mécanismes entièrement différents d’un point de vue physique qui assurent des fonctions organiques comparables. C’est cette sous-détermination des mécanismes par les fonctions organiques et l’organisation mutuelle de ces fonctions que permet de prendre en compte l’approche qualitative en focalisant l’attention sur les relations entre les fonctions. Le biologiste théoricien se penche alors sur les applications épimorphiques qui laissent invariantes « certaines relations générales » 770 entre fonctions organiques. Rashevsky assume donc là cette sorte de déracinement du formalisme qu’il refusait encore avant l’intervention de la cybernétique en biologie quantitative et l’expansion afférente des modèles isomorphes.

L’approche topologique va finalement dans le bon sens pour Rashevsky parce qu’elle rend compte de la similarité qualitative entre les organismes. Elle lui permet de réaliser le projet qu’à la suite de Loeb et Lotka, il avait par ailleurs formulé dès 1948 de concevoir le monde organique (et donc avec lui aussi le monde sociologique et humain !) comme un tout 771 . Mais cela lui permet aussi et surtout de percevoir des principes uniques à l’œuvre dans tout organisme vivant. Parce qu’elle rend compte de l’unité du monde organique à travers sa diversité même, l’approche biotopologique se révèle finalement plus fondamentale que l’approche biophysique, même si elle ne la remplace pas :

‘« On doit insister fortement sur le fait que l’approche relationnelle de la biologie esquissée ci-dessus, ne supplante en aucune manière l’approche quantitative ou métrique antérieure. Les deux sont également importantes en biologie. Négliger l’une ou l’autre serait une grave erreur. Cependant, on doit dire qu’à certains égards l’approche relationnelle est plus fondamentale. Elle insiste sur l’unité de l’organisme aussi bien que sur le monde organique comme un tout, un fait que, jusqu’à présent tout au moins, l’approche quantitative ignore quasiment. L’approche métrique est plus à même d’insister sur les différences quantitatives entre les organismes, tandis que l’approche relationnelle insiste sur les similarités qualitatives entre eux. » 772

Ainsi, la biologie quantitative disperse tandis que sa propre biotopologie rassemble : là est bien sans doute la raison ultime de cette mutation dans l’épistémologie de Rashevsky. Elle prend en conséquence clairement la forme d’une résistance voire d’une réaction contre la dispersion des modèles singuliers et à usage unique.

Par la suite, Rashevsky explore un autre pan de la topologie mathématique car l’approche par la théorie des graphes lui semble limitée dans la mesure où elle confirme les observations de similarités organiques bien connues mais où elle ne donne pas de résultats théoriques nouveaux ou susceptibles d’inciter à de nouvelles observations. Le souci du test empirique demeure tout de même, bien que lointainement, chez lui. L’approche biotopologique graphique en effet n’est finalement qu’un mode de présentation formelle de résultats théoriques qualitatifs déjà bien connus 773 .

Notes
748.

[Rashevsky, N., 1964], p. 54.

749.

[Rashevsky, N., 1968], p. 245.

750.

[Rashevsky, N., 1964], p. 54. Mais « expliquer » ne suffit pas, comme il le précisera.

751.

[Rashevsky, N., 1964], p. 54.

752.

Rashevsky cite lui-même un propos de Tarski à son égard : “The difference between Woodger’s approach and yours is due to the fact that Woodger is interested in the logical, while you are interested in the biological aspects of the problems”, [Rashevsky, N., 1964], p. 57.

753.

[Rashevsky, N., 1960a], Tome 2, pp. 404-405.

754.

[Rashevsky, N., 1960b], p. 141.

755.

[Rashevsky, N., 1960b], p. 141.

756.

Cité in [Rashevsky, N., 1960a], Tome 2, pp. 308 et 324.

757.

[Rashevsky, N., 1960a], Tome 2, pp. 308-309.

758.

Pour ce rappel, nous nous inspirons grandement des introductions de [Berge, C., 1958, 1969], pp. vii-viii et de [Sache, A., 1974] (« Aimé Sache » = pseudonyme d’un groupe de chercheurs mathématiciens alors associés à la Maison des Sciences de l’Homme - MSH), p. 7, mais aussi de l’article « théorie des graphes » de Hervé Raynaud dans l’Encyclopaedia Universalis, édition 1989, Tome 10, pp. 737b-740b.

759.

Théorie des graphes finis et infinis, Leipzig, Akademische Verlagsgesellschaft, 1936. Cet ouvrage est cité comme source princeps par [Rashevsky, N, 1955], p. 235.

760.

[Berge, C., 1958, 1969], p. vii.

761.

[Rashevsky, N, 1955], p. 231.

762.

[Berge, C., 1958, 1969], p. vii.

763.

[Sache, A., 1974], p. 16.

764.

Hervé Raynaud suggère que c’est d’ailleurs la raison pour laquelle la théorie des graphes s’est tout de même peu développée dans les mathématiques françaises, longtemps et fortement marquées qu’elles étaient par le formalisme bourbakiste. Voir l’article « théorie des graphes » in Encyclopaedia Universalis, Tome 10, p. 740b. L’entretien que Bernard Colasse et Francis Pavé ont mené avec Bernard Bru restitue par ailleurs assez précisément l’atmosphère de l’Institut Henri Poincaré qui avait été fondé en 1928 avec le projet de développer les mathématiques appliquées en France. Il confirme cette analyse. Autour de cet institut, en effet, de nombreux mathématiciens appliqués (dont Georges Darmois (1888-1960) - également directeur de l’Institut Supérieur de Statistiques de Paris fondé en 1922 - , Pierre Massé (1898-1987), Georges Th. Guilbaud (né en 1912), par ailleurs fondateur du Centre de Mathématiques Sociales (qui deviendra le CAMS) de l’EHESS, et André Vessereau, puis P. Rosensthiel, Bernard Roy (auteur d’un manuel sur la théorie des graphes en 1970) et Maurice Fréchet (1878-1973)) se retrouvèrent jusqu’à la mort de Borel, en 1956, date à partir de laquelle l’IHP fut vidé de sa substance et marginalisé par la vague bourbakiste, selon Bernard Bru. Voir [Bru, B., Colasse, B. et Pavé, F., 2002], pp. 77 et 87. Nous pouvons ajouter qu’au vu de ce paysage intellectuel français, les mathématiques appliquées, spécifiquement la Recherche Opérationnelle, mis à part le travail de traduction et d’acclimatation par Vessereau de la statistique anglo-saxonne à la Fisher en direction de la biologie et de l’agronomie après 1945, ont d’abord surtout été développées et enseignées à destination des ingénieurs gestionnaires et des chercheurs en sciences humaines, comme en témoignent les fondations de l’ISUP puis du CAMS. C’est essentiellement le CAMS, bénéficiant en quelque sorte des déboires de l’IHP, qui publie par la suite des travaux en théorie des graphes, notamment à la fin des années 1960 et au début des années 1970, dans la revue Mathématiques et sciences humaines (voir [Sache, A., 1974], p. 125). Mais ces travaux sont prioritairement adressés aux sciences humaines alors même que, par ailleurs, Jean-Pierre Benzécri coupe ce qu’il appelle l’« analyse de données » de ses impulsions statistiques et opérationnelles initiales (de par ses racines dans la recherche opérationnelle anglaise), en en faisant une présentation purement géométrique un moment très prisée. La biologie française, y compris la biométrie, est donc restée longtemps à bonne distance de ces développements de la mathématique appliquée, en particulier de la théorie des graphes.

765.

[Rashevsky, N., 1968], p. 245.

766.

“Thus the vertex I which represents the property of ingestion will be connected by an arrow to the point D which represents the property of digestion, like this I → D”, [Rashevsky, N., 1968], p. 246.

767.

[Rashevsky, N., 1968], p. 246. On reconnaît là le souci qui avait animé également les recherches logicistes et d’embryologie théorique de Woodger. Rashevsky a-t-il repris ses remarques cruciales de Woodger (1937) en se les attribuant à lui seul sous prétexte de leur avoir donné une teinture topologique ? Il est certain que Rashevsky a lu Woodger très tôt, dès avant la guerre, mais il est tout aussi certain qu’il ne cite pas Woodger lorsqu’il introduit sa notion d’épimorphisme. Ce n’est que plus tard qu’il exprime quelque regret de n’avoir pas saisi plus tôt ces idées novatrices que lui proposait la méthode axiomatique. Nous n’avons pas de document permettant de savoir si, en 1954, Rashevsky tire directement cette idée de sa lecture antérieure de Woodger. Mais, selon ses dires, il n’aurait de toute façon pas alors prêté toute l’attention à ce travail qui lui sembla d’abord manquer d’un sens réellement biologique dans la formalisation symbolique.

768.

[Rashevsky, N., 1968], p. 245.

769.

“The mechanism of stimulation and of the perception of food in a paramecium is quite different from the mechanism of stimulation and perception of food in a bird or in another animal”, [Rashevsky, N., 1968], p. 245.

770.

“certain general relations”, [Rashevsky, N., 1968], p. 245.

771.

[Rashevsky, N., 1938, 1948], p. 616. Rashevsky y concevait la sociologie mathématique comme une sous-partie de la biologie mathématique, et l’histoire comme une petite branche de la paléontologie... Voir [Rashevsky, N., 1938, 1948], p. 629.

772.

“It must be strongly emphasized that the relational approach to biology outlined above in no way supplants the earlier quantitative or metric approach. The two are equally important in biology. Neglecting either one of them would be a great error. It must, however, be said that in some respects the relational approach is more basic. It does emphasize the unity of the organism as well as of the organic world as a whole, a fact which the quantitative approach, thus far at least, almost ignores. The metric approach is more likely to emphasize the quantitative differences between organisms, whereas the relational approach emphasizes the qualitative similarities between them”, [Rashevsky, N., 1964], p. 57. C’est l’auteur qui souligne.

773.

[Rashevsky, N., 1958b], p. 267.