9.1. Études en didactique des mathématiques

Le domaine des problèmes additifs a été largement étudié en didactique des mathématiques, en psychologie cognitive et en linguistique (cf. Fayol, 1990, chapitre 6 pour une synthèse). Les problèmes additifs décrivent une situation concrète, par exemple un jeu de billes : « Alex avait 32 billes. À la fin de la récréation, il en a 45. Combien a-t-il gagné de billes pendant la récréation ? ». Certains problèmes sont résolus dès la maternelle, alors que d'autres posent encore des difficultés en fin de troisième (Marthe, 1982).

Riley, Greeno et Heller (1983) ont proposé une classification des problèmes additifs qui distingue trois catégories de problème : réunion, changement et comparaison.

• La catégorie « réunion » porte sur des situations statiques : « Jean a 3 billes. Pierre a 4 billes. Jean et Pierre ont ensemble 7 billes ». Les problèmes consistent à trouver le total ou un état partiel.
• La catégorie “changement” décrit une transformation appliquée à un état initial et aboutissant à un état final : « Jean avait 3 billes. Il en a gagné 4. Jean a maintenant 7 billes ». L'inconnue peut concerner l'état initial, la transformation (qui peut être additive ou soustractive) ou l'état final.
• La catégorie « comparaison » compare des quantités statiques à l'aide de formules du type « de plus que / de moins que » : « Jean a 3 billes. Pierre a 7 billes. Pierre a 4 billes de plus que Jean ». L’inconnue peut être la grande partie, la petite partie, ou la différence.

Greeno et Riley (1987) montrent que les difficultés que rencontrent les jeunes enfants en résolvant des problèmes additifs viennent essentiellement du fait qu’ils n'arrivent pas à se représenter correctement la situation décrite dans l'énoncé. Les enfants plus âgés sont eux capables de bien résoudre les problèmes additifs car ils ont la capacité de modéliser les problèmes (Greeno et Riley 1987). Cette difficulté à modéliser les problèmes additifs vient en partie du fait que les enfants ne sont pas encore capables de maîtriser les outils que sont les équations et les entiers relatifs, outils que nous, adultes, utilisons pour modéliser ces problèmes.

La classification établie par Vergnaud (1982) précise la classification de Riley, Greeno et Heller. En distinguant le calcul numérique du calcul relationnel, il propose une approche plus opératoire pour modéliser les problèmes additifs. Cependant, lorsque l'on évalue les taux de réussite à ces problèmes, on remarque que la difficulté n'est pas liée à l'opération mathématique sous-jacente : une transformation négative n’est pas nécessairement plus difficile qu’une transformation positive. En revanche la catégorie du problème (réunion, changement ou comparaison) ainsi que la nature de l'inconnue interviennent dans la difficulté du problème. Les problèmes de la catégorie « changement » semblent plus faciles que ceux de la catégorie « réunion » ; les problèmes de comparaison sont les plus difficiles.

L’ensemble de ces travaux en didactique des mathématiques laisse à penser que le domaine des problèmes additifs est un bon domaine pour un EIAH Ambre. En effet, il s’agit de problèmes difficiles pour les élèves de l’école primaire, dans lesquels la modélisation joue un rôle important, et pour lesquels une classification a été établie.