3.1.Un exemple des difficultés rencontrées en mathématiques

Un grand nombre des élèves d’une classe de seconde, considérée comme moyenne, est capable d’énoncer correctement le théorème de Pythagore.

En revanche, beaucoup moins sont capables de répondre à la question suivante :

‘ABC est un triangle rectangle en A.’ ‘Si, AB=3, AC=4, calculer BC.’

Le calcul est repris en cours. Le professeur annonce qu’une question du contrôle suivant portera sur ce calcul. La plupart des élèves réussit cette question lors du contrôle.

Deux semaines plus tard, on propose le calcul suivant :

Soit le triangle ABC, rectangle en A ;

AB=3 ; BC=5 ; Calculer AC.

Dans un problème donné à la fin de l'année, une question porte sur un calcul de même nature que le calcul précédent, mais mettant en jeu des fractions. Seulement un tiers environ des élèves réussit

Dans cet exemple, nous avons des connaissances qu'on qualifiera de déclaratives: il s'agit de l'énoncé du théorème de Pythagore. (1).

Ensuite (2), on demande d'opérer en utilisant le théorème. Intervient alors une difficulté qui consiste à rappeler une connaissance vue dans un autre contexte: un calcul faisant intervenir une racine carrée. Il s'agit donc de faire appel successivement à deux connaissances pour pouvoir opérer.

On demande (3) de reproduire une procédure de calcul. Nous dirons qu'il s'agit d'une connaissance procédurale.

En (4), on demande d'adapter une connaissance déclarative déjà acquise. Cette connaissance « déclarative» est traitée comme une connaissance conditionnelle, c’est-à-dire une connaissance qu'il faut adapter aux conditions particulières d'un problème.

En (5), la question survient dans un contexte plus large. Il faut l'adapter à ce nouveau contexte et faire appel à d'autres connaissances.

Comme on le voit, ce petit exemple montre qu'une connaissance « déclarative» connue par les élèves est difficilement appliquée, adaptée et utilisée en relation avec une autre connaissance. Cela remet en cause les modes d'apprentissage d'une connaissance si l'on veut qu'elle devienne une aide pour résoudre des problèmes, et non pas simplement être énoncé.