II.1.1 Chapitre : Généralités sur les fonctions

Les activités

Avant de passer aux activités proprement dites on donne des explications sur ce que les élèves vont découvrir en seconde.

A découvrir en seconde :

• - identifier la variable et son ensemble de définition
• - définir une fonction par une courbe, un tableau de valeurs ou une formule
• - déterminer image et antécédent

Nous voyons à travers ces notions que les registres graphiques, tableaux de valeurs et algébriques pour définir la fonction vont être utilisés.

Il y a cinq activités introductives qui intitulent ainsi :

La première activité s’intitule : “Les représentation graphiques des fonctions affines ”.

Elle consiste, entre autres, à faire fonctionner le passage du registre algébrique au registre graphique et vice-versa en lien avec les types de tâche : “ calculer les images ” et “ trouver les antécédents ”.

Dans la première partie, on donne une fonction affine avec sa formule (f(x) = 2x – 3) et on demande de calculer f(-3) et f(4) puis de tracer la représentation graphique de f. Ensuite, on demande de déterminer graphiquement et par le calcul les nombres x tels que : f(x) = -4, puis tels que : f(x)≥-4. On voit donc ici qu’en s ‘appuyant sur des connaissances de troisième, les auteurs commencent à introduire des tâches classiques liées aux fonctions, concernant la recherche par le calcul et graphiquement des images et des antécédents.

Dans la deuxième partie de cette activité, on donne un dessins représentant dans un repère, le tracé de cinq droites, dont une est horizontale et une verticale et on demande lesquelles sont des représentations graphiques de fonctions affines. Dans les cas affirmatifs (tous sauf la droite verticale), on demande en plus de donner l’expression de ces fonctions. Ceci correspond à la tâche inverse de celle de la première partie et, comme elle, fait partie des compétences normalement acquises en classe de troisième.

Cette première activité permet donc d’installer, dans le cadre connu des droites et des fonctions affines, les premières notions et tâches élémentaires sur la fonction, en particulier dans les liens entre les cadres graphiques et algébriques.

La deuxième activité s’intitule : “ D'autres représentations graphiques ”.

Ici la fonction est donnée algébriquement (h(x) = 1/2x2 - 3 définie sur l’intervalle [-4 ; 4]) et on donne un tableau comme ci-dessous :

x	-4	-3,5	-3	-2,5	-2	-1,5	-1	-0,5	0
h(x)

x	0,5	1	1,5	2	2,5	3	3,5	4
h(x)

Ensuite on demande de compléter ce tableau et de placer, dans un repère, les points trouvés. A la fin, on demande : 'quelles remarques peut-on faire sur la disposition de ces points ?'. (On n’attend de l’élève qu’il dise qu’ils ne sont pas alignés !)

Le but de cette activité est donc de montrer qu’il y a d’autres représentations graphiques que des droites. Ici nous pouvons voir que le registre d’entrée est le registre tableau : il faut remplir un tableau de valeurs et placer les points trouvés et constater qu’ils ne sont pas alignés. On utilise l’intervalle symétrique par rapport à l’origine [-4 ; 4] et un pas de 0,5.

La troisième activité s’intitule : “ Des fonctions dans la vie de tous les jours ”.

Il s’agit de l’étude du prix de la course en taxi en fonction de la distance parcourue. Le but de cette activité est de montrer que les fonctions peuvent être représentées en langue naturelle en référence à un problème de la vie quotidienne. Donc le registre d’entrée est celui de la langue naturelle et se situe dans un contexte “ dans la vie de tous les jours ”.

Dans la deuxième partie de cette activité, on donne un tableau de valeurs qui indique le nombre d’ordinateurs connectés à Internet en fonction de dates particulières. Ensuite on demande de représenter graphiquement ces données. C’est une activité de conversion de registre, on passe du registre tableau au registre graphique. Elle a un lien avec la première partie, en effet ici aussi, on part d'un exemple de la vie tous les jours.

La quatrième activité s’intitule : “ Des fonctions en géométrie ”.

Elle est découpée en trois parties. Dans les deux premières on fait remplir à l’élève un tableau de valeurs permettant de mettre en correspondance le périmètre et l’aire d’un carré dans le premier cas et d’un disque dans le second. Chacune des deux se termine par la question “ exprimer l’aire … en fonction de la longueur … du périmètre ”.

Dans le troisième cas, on fait voir à l’élève que ceci n’est pas possible dans le cas d’un rectangle, puisqu’il existe des rectangles de même périmètre ayant des aires différentes.

Le but de cette activité est de voir que certaines formules de mesure en géométrie peuvent conduire à des relations fonctionnelles, mais que ce n’est pas toujours le cas. Le troisième cas peut aussi déboucher sur l’introduction à l’idée de fonction de plusieurs variables, en effet, l’aire du rectangle est fonction de la longueur des deux côtés.

La cinquième activité s’intitule : “ Des fonctions définies par une calculatrice”.

L’idée ici est d’utiliser la calculatrice comme une “ boîte noire ” qui permet d’associer un nombre à un autre nombre. Dans la première partie on utilise la touche “ log ” de la calculatrice en précisant qu’elle fait référence à une fonction qui sera étudiée en Terminale. Dans la seconde partie, on fait un programme de calcul qui conduit à la fonction f(x) = + 1/x + 3

Dans les deux cas, on donne un tableau de valeurs avec seulement les valeurs de la variable x et on demande de le remplir. Les élèves sont donc mis dans une situation exploratoire avec la calculatrice qui joue le rôle de “ boîte noire ”.

En résumé, l’ensemble de ces activités a pour but de montrer la variété des modes d’intervention et de représentation des fonctions en liaison avec des domaines déjà connus des élèves, que ce soit des connaissances mathématiques des années antérieures (activités 1, 2 et 4) des connaissances liées à des objets de la classe de mathématiques (la calculatrice dans l’activité 5) ou des connaissances de la “ vie de tous les jours ” (activité 3). C’est aussi l’occasion de faire travailler les premières notions et les tâches. En particulier, on remarque que le tableau de valeurs apparaît dans quatre d’entre elles comme registre d’entrée, ce qui montre que les auteurs ont choisi d’introduire cet objet de façon importante.