Les activités

La première activité s’intitule « Fonction donnée par sa représentation graphique ».

On donne quatre représentations graphiques (une seule concerne une fonction affine par morceaux, les autres ne comportent pas de droites) et on demande de répondre à certaines questions pour conjecturer le sens de variation et les extrema d’une fonction.

La deuxième activité s’intitule « Fonction dont on connaît un tableau de valeurs ».

Cette activité est la suivante :

La fonction f est définie sur l’intervalle [-2 ; 6]. On en donne un tableau de valeurs.

1. Que peut-on dire de la plus grande valeur, puis de la plus petite valeur prises par la fonction f sur l’intervalle [-2 ; 6] ?

2. Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses (en justifiant la réponse)

a) Si x appartient à l’intervalle [-2 ; 6], alors f(x) appartient à [-10 ; 13].

b) Sur l’intervalle [1 ; 6], si x augmente, alors f(x) augmente.

c) Sur l’intervalle [-2 ; 1], si x augmente, alors f(x) diminue.

3. Proposer trois courbes représentatives possibles pour la fonction f.

Le but de cette activité consiste à montrer qu’un tableau de valeurs ne donne que des informations partielles, et en particulier, ne suffit pas pour connaître les variations et les extrema d’une fonction. En effet, dans les questions 1 et 2, il est fort probable que les élèves répondent naturellement que la plus grande valeur est 13, la plus petite est –10 et que les 3 affirmations sont vraies. Il est même fort possible que dans une classe entière cette position soit unanime et ne fasse l’objet d’aucun débat. Néanmoins, il n’est pas impossible que certains élèves réalisent que la fonction peut prendre n’importe quelle valeur entre les valeurs entières des abscisses du tableau. La question 3 est en quelque sorte un moyen de faire émerger cette idée si elle n’était pas apparue avant. Tout d’abord il s’agit de voir que plusieurs fonctions peuvent correspondre à un même tableau de valeurs. Le cadre graphique oblige à marquer ce qui se passe entre les points correspondants aux valeurs du tableau. Toutefois, il est rare de rencontrer une fonction ayant un comportement « erratique » entre deux points d’abscisses entières successives. Ainsi, par une sorte d’effet de contrat, les élèves auront certainement du mal à imaginer autre chose que la courbe « standard » correspondant à ce tableau de valeurs. Il s’agit donc bien, à travers cet exercice, de remettre en cause des conceptions fortement ancrées, et renforcées par des effets de contrat didactique, sur le lien entre la fonction et son tableau de valeurs en particulier au regard de la monotonie et des extrema et du tracé de la courbe représentative.

La troisième activité s’intitule « Décrire une situation par une fonction ».

On donne le tableau de valeurs de l’évolution de la population sur la Terre de 10 ans en 10 ans entre 1880 et 1990, puis en 1995, 1996, 1997 et 2000.

Dans un premier temps, on demande à l’élève de représenter graphiquement l’évolution de cette population (on suggère d’utiliser un tableur) puis d’en décrire les variations. Est-ce qu’ici on attend une représentation sous la forme d’une courbe ? Si oui, comment les points correspondant aux données du tableau sont-ils sensés être reliés ? Vu que cette activité s’insère dans le chapitre sur les fonctions, il semble bien que ce soit ce qui est attendu, les points devant être reliés par des segments de droite. Néanmoins, la nature des données ainsi que l’appel à utiliser un tableur peuvent faire préférer une représentation par histogramme avec des bâtonnets. Dans un cas, on a une représentation continue du phénomène, on construit en quelque sorte une fonction d’interpolation, dans l’autre on reste sur une représentation discrète ne représentant que les valeurs données, il n’ y a pas de fonction. Seuls une injonction de l’enseignant et un effet fort du contrat peuvent faire préférer à l’élève la première option.

La question sur les variations est ambiguë, en effet si l’élève a bien compris l’activité précédente, il ne pourra rien dire sur ce qui se passe entre les années du tableau. Pourtant le contexte concret ici assure que le comportement de la population entre deux années du tableau n’a pas pu être trop différent. En fait, il semble très probable que cette population ait augmenté tout au long entre 1880 et 2000 comme c’est le cas pour les valeurs du tableau. Contrairement à l’activité précédente où la fonction était déconnectée de tout contexte de réalité, ici le contexte induit un comportement de la fonction entre les valeurs du tableau.

On demande ensuite à l’élève de calculer le pourcentage d’augmentation tous les dix ans puis de décrire et commenter l’évolution de ce pourcentage. Ici, tout peut se faire hors du contexte des fonctions, c’est une occasion de revenir essentiellement sur des calculs de pourcentages essentiellement.

Enfin on demande aux élèves si on peut estimer la population d’une part en 1936 et 1968 (valeurs intermédiaires non spécifiées dans le tableau) et en 2001 et 2010 (valeurs au-delà du tableau). Cette question vise à donner une idée de la construction d’une fonction d’interpolation modélisant l’évolution de la population et respectant les données du tableau. Pour ceux des élèves ayant tracé une courbe affine par morceau au 1), la première partie de la question devrait ne pas poser de problème. Pour les autres, il y a fort à parier que le problème se transforme en un problème de proportionnalité, tant le modèle linéaire est prégnant.

La quatrième activité s’intitule « Proposer des représentations graphiques ». Dans quatre cas différents, on demande de donner deux représentations graphiques de fonctions vérifiant certaines propriétés. Voici les deux premiers cas proposés :

1) La plus grande valeur prise par la fonction h est égale à 3 ; elle est obtenue en –1 en 1.

La plus petite valeur prise par h est –6 ; elle est obtenue en 0.

2) La fonction f conserve le sens des inégalités sur [-5 ; -2], puis change le sens des inégalités sur [-2 ;2].

f (-5) = f (2) = 0

Le but de cette activité est de faire traduire à l’élève graphiquement les notions du maximum, du minimum et du sens de variation à partir du registre de la langue naturelle. De plus on veut montrer à l’élève qu’il y a plusieurs fonctions ayant des propriétés identiques.

Les cinquième et sixième activités, abordent des problèmes géométriques conduisant à une modélisation en termes d’optimisation d’une fonction. Les deux exemples sont très classiques : rectangle de périmètre donné ayant la plus grande aire d’une part et distance la plus courte d’un point à un autre après « rebond » sur une droite. Dans les deux cas, la variable x est spécifiée d’entrée de jeu et les questions sont très découpées, ne laissant que peu d’initiative à l’élève.

Dans les deux problèmes, l’élève est invité à partir d’un tableau de valeur à conjecturer le maximum. Notons que la valeur entière de la solution permet de faire la bonne conjecture à partir du tableau de valeurs.

En fait, les connaissances des élèves ne leur permettent pas de démonter rigoureusement le résultat dans le cadre algébrique, ils doivent se contenter d’une conjecture en utilisant leur calculatrice. Notons au passage que les données du problème conduisent à une solution entière, donc que les élèves peuvent conjecturer le bon résultat. Ceci risque de renforcer la conception consistant à croire que les valeurs en des abscisses entières suffisent pour connaître les variations de la fonction, contrairement à ce qui avait été tenté avec l’activité 2. L’absence d’une démonstration possible dans le cadre algébrique des fonctions conduit à la nécessité d’une démonstration géométrique. Le risque ici est que les élèves voient la modélisation par la fonction comme une complication inutile.