II.5 Conclusion

Nous récapitulons les résultats dans le tableau ci-dessous concernant l’utilisation du tableau de valeurs et du tableau de variations pour cette partie de notre étude.

A la lecture de ce tableau : pour le tableau de valeurs,

• Remarquons que l’utilisation du tableau de valeurs est très différente suivant le manuel. Dans certains (Fractale), son rôle est très important dans l’étude des fonctions et ainsi il y consacre des paragraphes spécifiques avec sa définition, alors que dans d’autres (Hyperbole, Pythagore et Déclic) son rôle est très faible : soit on l’utilise seulement dans le contexte intra mathématique (Pythagore, Déclic)), soit seulement dans le contexte extra mathématique sur un ensemble fini (Hyperbole).
• Dans la moitié des manuels analysés (Pythagore, Déclic), le tableau de valeurs n’est jamais utilisé comme registre d’entrée dans une activité, dans un exercice ou dans un problème.
• Seul, Fractale essaie de monter qu’un tableau de valeurs ne donne que des informations partielles et que le tableau n’a aucune raison, a priori, de contenir des valeurs remarquables de la fonction au regard de ses variations. Dans les autres manuels, aucune précision n’est donnée sur son rôle et ses limites pour l’étude des fonctions.
• Dans Fractale, on utilise à la fois le tableau de valeurs classique et le tableau de valeurs fait par l’écran d’une calculatrice. Dans Déclic, on l’utilise seulement fait par l’écran d’une calculatrice, alors que dans les autres, on n’utilise jamais un tableau de valeurs fait par l’écran d’une calculatrice.
• Au niveau des variables didactiques relatives aux tableaux de valeurs : V_nombr est comprise entre 6 et 9 quand on reste dans un cotexte intra-mathématique et on utilise plutôt les nombres entiers comme valeurs de la variable et celles-ci sont en général dans l’ordre croissant. V_max/min correspond toujours aux bornes des intervalles si l’ensemble de définition est précisé. Enfin, on utilise en général un pas régulier dans ce contexte. Dans des contextes extra-mathématiques, on peut voir que V_nombr atteint jusqu’à 20 valeurs.

Pour le tableau de variations :

• Trois manuels (Fractale, Pythagore et Déclic) consacrent un paragraphe spécifique au tableau de variations, par contre seul Déclic donne des explications sur sa construction.
• Aucun manuel ne donne de précision sur les codes et les codages qu’on utilise dans un tableau de variations. Seul, dans Déclic, on essaie de visualiser le passage d’une représentation graphique à un tableau de variations en traçant des flèches ascendantes et descendantes sur une représentation graphique.

Nous récapitulons les résultats de notre analyse concernant les tâches de conversion liées à ces deux objets :

A la lecture de ce tableau ; pour le tableau de valeurs ;

• Remarquons tout d’abord qu’aucune conversion liée au tableau de valeurs n’est explicitée dans trois manuels (Hyperbole, Pythagore et Déclic). En plus, aucune conversion liée à cet objet n’apparaît dans Hyperbole. Celles qui apparaissent dans Pythagore et Déclic sont des sous-taches entre le registre algébrique et le registre graphique pour arriver à tracer « point par point » la représentation graphique d’une fonction. En effet, le tableau de valeurs est utilisé dans ces deux manuels comme une aide et on n’étudie en aucun lieu le fait qu’on peut tracer plusieurs représentations graphiques à partir d’un tableau de valeurs.
• Seule Dans Fractale, on étudie toutes les conversions liées au tableau de valeurs et on donne aussi des connaissances nécessaires pour certains d’entre elles qui apparaissent pour la première fois en Seconde (Tvl → G, Tvl → Tvr, Tvr → Tvl)

Pour le tableau de variations ;

• Seule la conversion « G → Tvr » est étudiée dans tous les manuels, c’est ce qui est normal, puisque le tableau de variations est introduit dans tous à partir du registre graphique.
• La conversion « A → Tvr » apparaît dans seulement deux des manuels (Fractale, Pythagore) avec les techniques d’étude.
• La conversion « Tvr → G » est demandée et explicitée (avec des connaissances nécessaires : à un tableau de variations, on peut faire correspondre plusieurs représentations graphiques) dans deux manuels (Fractale et Hyperbole), elle est seulement demandée dans Déclic sans explication, alors que dans Pythagore, cette conversion n’apparaît en aucun lieu. On constate ainsi un écart très important entre les intentions des programmes et leur application dans ce manuel, puisque cette conversion est explicitement demandée dans le programme ¹¹ .
• Seul Fractale étudie et explicite toutes les conversions possibles en Seconde. Ajoutons également que les conversions entre le tableau de valeurs et le tableau de variations apparaissent seulement dans ce manuel avec les connaissances nécessaires.