Question 2

Cette question ne comporte pas de changement de registre explicite et a priori n’en nécessite pas. Il s’agit d’un traitement dans le registre tableau de valeurs. On demande à l’élève de donner la plus grande et la plus petite valeur prises par la fonction connue par un tableau de valeurs. Notre analyse des manuels a montré que le tableau de valeurs est toujours lié soit au registre algébrique soit au registre graphique ou soit à un contexte extra-mathématique. D’autre part, l’analyse des réponses des enseignants sur cette question montre qu’elle ne fait pas réellement partie du rapport institutionnel de la classe de 2nde puisque le contrat de la classe ne permet pas d’avoir des exercices avec des réponses aussi ouvertes. Dans ce sens, on peut considérer cette question comme peu habituelle, voire hors contrat.

2A. Soit une fonction g définie sur l’intervalle [-2 ; 14] dont on connaît les valeurs suivantes,

Quelle est, à votre avis, la plus petite valeur prise par g sur l’intervalle [-2 ; 14] ? Expliquer.

Quelle est, à votre avis, la plus grande valeur prise par g sur l’intervalle [-2 ; 14] ? Expliquer. 

2B. Soit une fonction g définie sur l’intervalle [-4 ; 4] dont on connaît les valeurs suivantes

Quelle est, à votre avis, la plus grande valeur prise par g sur l’intervalle [-4 ; 4] ? Expliquer.

Quelle est, à votre avis, la plus petite valeur prise par g sur l’intervalle [-4 ; 4] ? Expliquer.

Une variable didactique importante concerne la nature du tableau de valeurs proposé. Dans le cas de la question 2A, nous avons choisi de donner un tableau de valeurs qui est presque un tableau de variations ; en effet, les valeurs qui apparaissent dans ce tableau peuvent apparaître comme les valeurs pertinentes du tableau de variations pour les élèves. Dans le deuxième cas (question 2B), le tableau de valeurs proposé est « complet » au sens où toutes les valeurs entières de la variable sont prises en compte, de plus, il y a un pas régulier, ses valeurs sont symétriques par rapport à 0.

Ici, il y a trois grands types de réponses :

1. L’élève envisage qu’il peut y avoir d’autres valeurs hors du tableau. Ces élèves ont donc compris que le tableau de valeurs ne donne que des indications partielles sur la fonction.
2. L’élève ne sort pas des valeurs du tableau, mais a une vision correcte de la notion d’extremum dans cette limite.
3. L’élève reste aussi dans les valeurs du tableau mais montre en plus des difficultés dans la compréhension de la notion d’extremum, voir d’image et d’antécédent.

La bonne réponse consiste à dire qu’on ne peut pas connaître les valeurs extrémales à partir de ce tableau. On peut le justifier en utilisant les types d’arguments suivants :

« On ne peut pas savoir » sans autre argument (codé1/0-justif).

« On ne peut pas savoir, car on ne connaît pas l’expression algébrique de la fonction. ». Cet argument n’est pas pertinent (codé 1/0-alg).

« On ne peut pas savoir, car on ne sait pas comment varie la fonction. » (codé1/0-var).

« On ne peut pas savoir, car on ne sait pas comment varie la fonction. » en illustrant sur un contre-exemple à partir d’une courbe (codé 1/graph).

« On ne peut pas savoir, car on ne sait pas comment varie la fonction. » en illustrant sur un contre-exemple à partir d’un tableau de variations (codé 1/tvr).

« On ne peut pas savoir, car il nous manque des valeurs. ». L’élève peut alors s’arrêter à cette justification (codé 1/0-val) ou rajouter un argument plus convaincant du type : « la fonction peut varier entre deux valeurs du tableau » et aller jusqu’à donner un contre-exemple numérique (par exemple, f(9) peut être inférieur à –7)» (codé 1/val).

Certains élèves peuvent donner une réponse dans les valeurs du tableau en précisant quand même qu’on ne peut pas savoir s’il y avait une plus grande/petite valeur. Ils donneront alors une réponse du type «la plus grande/petite valeur est inconnue car on ne sait pas la variation de la fonction. Mais, dans le tableau, la plus grande/petite valeur est –7/41 (question A) » (codé 1/2).

Ceci montre que pour certains élèves la réponse « on ne peut pas savoir » ne peut pas être considérée comme une réponse et ils se sentent ainsi obliger de donner une réponse « numérique » (effet de contrat).

L’élève peut répondre que la plus grande valeur est selon le questionnaire A ou B 41 ou 9 et la plus petite –7 ou –2. Ceci peut être plus ou moins argumenté. C’est en fait la réponse attendue ! Notons qu’ici certains élèves peuvent confondre dans leur réponse les valeurs de f et de x. C’est une erreur classique que nous ne prendrons pas en compte ici.

Certains élèves donne cette réponse sans explication (codé 2).

Certains élèves répondent en ne comparant que les valeurs du tableau. Ils peuvent donc donner une réponse du type : « car c’est la plus grande/petite valeur dans le tableau » ou « car c’est la plus grande/petite valeur (le maximum / le minimum) dans le ligne de la fonction» (codé 2/val).

Certains élèves peuvent passer par une représentation graphique ou un argument sur les variations, voire par un tableau de variations pour répondre à cette question. Ils utiliseront alors un argument du type « car la courbe passe par ces points et le point la plus bas/haut de la droite » ou « on remonte à … puis l’on redescend à … » ou ils tracent effectivement une courbe ou un tableau de variations (codés 2/graph, 2/var ou 2/tvr).

Enfin, certains élèves, tout en restant dans les valeurs du tableau, montrent des dysfonctionnements importants sur les notions d’extremum ou d’image et d’antécédent, ce qui peut être accentué par l’effet « hors-contrat » de la question.

Une réponse possible, consiste à confondre la plus grande et la plus petite valeur de la fonction par les valeurs prises par la fonction aux bornes de l’intervalle (prégnance du modèle croissant) ce qui revient à prendre la première et la dernière valeurs de la deuxième ligne du tableau. Ceci peut aller jusqu’à donner les bornes elles-mêmes comme réponse. (codé 3/bornes).

Certains élèves peuvent donner comme réponse la plus grande et la plus petite de toutes la valeurs des deux lignes du tableau « car c’est la plus grande/petite valeur dans les deux lignes du tableau » (codé 3/ttchiffr).

L’élève peut donner la réponse (-7 : 7) pour 2A en disant que le 41 et 34 sont trop grandes (codé 3/taille)

Enfin l’élève peut donner la réponse (7,5 : -2) pour 2B puisque le 9 correspond l’un de valeur de l’intervalle ou le « 7,5 » est la seule valeur décimale (codé 3/décim).