Question 3

Elle concerne le traitement d’un tableau de valeurs dans un contexte de la vie courante. On donne les valeurs de deux actions au premier jour de chaque mois, pendant six mois. A partir de ces informations, on demande alors à l’élève de dire si les deux valeurs peuvent être égales à un moment donné et, si oui, quand.

Comme nous l’avons vu dans l’analyse des manuels, on utilise habituellement des tableaux de valeurs pour deux types de tâches différents :

1. Comme un outil qui permet de tracer de façon précise la courbe représentative d’une fonction (passage entre le registre algébrique et le registre graphique).
2. Comme un résumé d’une situation de la « vie courante », pour décrire une relation entre deux grandeurs. Dans ce cas, on demande plutôt de passer au registre graphique en précisant de joindre les valeurs du tableau soit avec des segments de droite soit le plus régulièrement possible.

Dans les deux cas, on passe au registre graphique pour répondre à certaines questions. Ici, il s’agit de répondre directement à partir d’un tableau de valeurs. Dans ce sens, on peut considérer cette question comme peu habituelle.

3A. Le tableau ci-dessous donne les cours, en euros, de deux actions au premier semestre 2002 (valeurs de l’action à l’ouverture de la bourse le premier jour ouvrable de chaque mois).

A votre avis, est-ce qu’il est possible qu’à un moment donné les cours de ces deux actions aient été identiques ? Si oui, combien de fois ? et quand ? Si non, expliquer.

3B. Le tableau ci-dessous donne les cours, en euros, de deux actions au premier semestre 2002 (valeurs de l’action à l’ouverture de la bourse le premier jour ouvrable de chaque mois).

A votre avis, est-ce qu’il est possible qu’à un moment donné les cours de ces deux actions aient été identiques ? Si oui, combien de fois ? et quand ? Si non, expliquer.

Une variable didactique concerne la nature du tableau de valeurs proposé. Dans le questionnaire A, les valeurs de la fonction sont des décimaux à deux chiffres après la virgule, alors que dans le questionnaire B, ils n’en ont qu’un. Cela peut faire une différence si les élèves veulent tracer la courbe de la fonction notamment.

Ici, le point essentiel consiste à voir qu’il y a au moins un croisement des valeurs (en supposant un changement continu des valeurs dans la période). L’élève peut alors aller jusqu’à dire que ce changement est certain mais qu’il peut y en avoir d’autres sachant qu’entre deux dates du tableau tout est possible. Enfin si l’élève en reste à un modèle discret il ne verra pas la possibilité d’égalité des deux valeurs.

La réponse majoritaire attendue est :

« Oui, une fois entre février et mars » pour 3A et « oui, une fois entre mars et avril » pour 3B. Cette réponse peut être plus ou moins argumentée :

Certains élèves peuvent donner cette réponse sans justification (codé 2/0-justif).

Certains élèves vont passer par une représentation graphique. Ils tracent ainsi deux courbes « lisses » correspondant aux valeurs du tableau ou ils donneront des réponses du type « si on trace leur courbe, elles vont se croiser à cette date » sans les tracer (représentation mentale). Ils donneront donc cette réponse en pensant au croisement des deux courbes (Codé 2/graph).

Les élèves peuvent utiliser le changement de sens des valeurs des actions pour donner cette réponse. Ils donneront alors des réponses du type « car on s’aperçoit que les valeurs de A1 sont supérieures à celles de A2 durant janvier et février puis à partir de mars, les valeurs de A1 sont inférieures aux valeurs de A2 (question A)» (codé 2/sens).

Certains élèves peuvent donner cette réponse en ajoutant qu’il est possible qu’il y ait d’autres croisements à d’autres dates. Ils donneront donc des réponses du type « oui, une fois entre février et mars. Mais peut-être que les autres mois, il y a eu des variations importantes et qu’elles ont été identiques » (codé 2+)

Ces élèves montrent une compréhension fine de la partialité des informations données par un tableau de valeurs.

Certains élèves peuvent répondre en s’appuyant sur le contexte concret :

Ils peuvent dire que les valeurs des actions peuvent varier tout le temps et ainsi ces deux actions peuvent être identiques mais sans savoir quand et combien de fois. Ils donneront donc une réponse du type «oui, autant de fois (ou tous les mois) car elles peuvent forcément augmenter ou diminuer d’un jour à l’autre. Mais on ne peut pas déterminer quand et combien de fois». (codé +/context).

Mais ils peuvent aussi, toujours en s’appuyant sur le contexte, donner des réponses non pertinentes du type « non, ce n’est pas possible car les actions dépendent de l’offre de la demande. Il y a une seule exception s’il y a la même demande et la même offre pour les deux actions» (codé 0/context).

Certains élèves ne vont s’appuyer que sur les valeurs données dans le tableau :

Certains élèves diront « non » en ne comparant que des valeurs du tableau. Ils donneront ainsi une réponse du type « non, car sur ce tableau aucun chiffre n’est pareil » ou « non car il n’a jamais le même gain de cours pour chaque mois » (codé nonchiff).

Certains élèves peuvent croire qu’elles sont identiques si leurs valeurs sont très rapprochées l’une de l’autre. Ils donneront donc une réponse du type « oui en juin car elles sont très proches comme valeurs » ou « oui, après juin car on voit que les deux actions sont presque identiques en juin, donc en juillet elles vont être identiques» (codé proche).

Enfin des réponses plus erratiques risquent de surgir :

Certains élèves, pour qui, il est impossible de concevoir d’autres fonctions que les fonctions affines, peuvent essayer de voir la proportionnalité des valeurs du tableau. Ils donneront donc des réponses du type « oui, c’est possible car les valeurs ne sont pas proportionnelles. Donc, les droites ne sont pas parallèles, donc elles se coupent.» (codé aff).

Certains élèves peuvent dire 2 fois (pour A) ou 3 fois (pour B) puisque leurs valeurs changent de sens, c’est à dire l’une baisse quand l’autre monte (codé +sens).

Les réponses « oui » et « non » sans justification seront codées oui-0justif et non-0justif. Ainsi que la réponse « on ne peut pas savoir » sans donner d’autre explication sera codée 1/0-justif.