Questions 2A et 2B : Le traitement d’un tableau de valeurs

Le tableau ci-dessous montre la répartition des réponses des 260 élèves pour ces questions (130 élèves pour 2A et 130 élèves pour 2B) qui n’ont soulevé aucune remarque.

Légende :

1/hors tableau : l’élève envisage qu’il peut y avoir d’autres valeurs hors du tableau.

2/dans tableau : l’élève ne sort pas des valeurs du tableau mais a une vision correcte de la notion d’extremum dans cette limite.

3/diff im-ant : l’élève reste aussi dans les valeurs du tableau mais montre en plus des difficultés, liées aux notions d’image et d’antécédent.

24 élèves (9%) seulement au total envisagent qu’il peut y avoir d’autres valeurs hors du tableau de valeurs ou ils disent qu’on ne peut pas connaître les extrema d’une fonction à partir d’un tableau de valeurs (codé 1/hors tableau).

Nous constatons, par contre, qu’il y a un écart important entre les réponses des deux questionnaire : 14% des élèves ont répondu dans cette catégorie pour la question 2A, contre seulement 5%, pour la question 2B. Ceci laisse penser que la forme du tableau de valeurs donnée est une variable importante pour certains élèves (dans le premier cas on a donné certains valeurs entières de l’intervalle de définition, par contre, dans le deuxième cas on a donné toutes les valeurs entières).

Comme nous l’avons prévu dans l’analyse a priori, la plupart des élèves répondent en restant dans les limites des valeurs du tableau (codé 2/dans tableau) : 56% au total (68 élèves (52%) pour la question 2A et 78 élèves (60%) pour 2B). Leurs réponses aux questions 1Ab et 1Bb sont variées et même 8 d’entre eux arrivent à donner une réponse correcte à ces questions (un autre tableau de variations ou une autre représentation graphique).

Enfin nous constatons qu’un nombre important d’élèves donnent une réponse du type « 3/diff im-ant » : 28% au total (74 élèves). Comme nous l’avons dit dans l’analyse a priori, on peut considérer ces questions comme peu habituelles dans le contrat classique de la classe de 2nde, donc ces élèves peuvent avoir été perturbés par la nouveauté de cette tâche.

Nous examinons maintenant en détail les réponses du type « 1/hors tableau » et du type « 2/dans tableau ».

Ceux qui envisagent qu’il peut y avoir d’autres valeurs hors du tableau (codé 1/hors tableau) :

Nous pouvons dire, à partir de ce tableau, que dans cette catégorie de réponse, même si les élèves ont compris qu’un tableau de valeurs ne donne que des informations partielles sur la fonction, ils ont plutôt tendance à donner une réponse numérique (codé « 1/val » et « 1/2 » : 19 élèves au total). Ceci montre certainement un effet de contrat qui consiste à dire qu’en mathématiques la réponse « on ne peut pas savoir » ne peut pas être considérée comme une réponse valide.

Nous constatons aussi qu’aucun élève n’a essayé d’utiliser le tableau de variations comme contre exemple, et que le registre graphique n’est, quant à lui, utilisé qu’une seule fois.

Ceux qui restent dans les limites des valeurs du tableau (codé 2/dans tableau) :

L’argument le plus utilisé par les élèves, dans les deux cas, est celui de type « 2/val » (au total 67 élèves – 26%). Pour cet argument, nous ne pouvons pas déterminer les raisonnements de ces élèves puisqu’il n’y a pas d’autre trace dans leurs copies : ils peuvent très bien ne comparer que les valeurs de la fonction dans le tableau de valeurs (dans ce cas-là, les élèves n’ont pas compris la question en tant que la recherche des extrema d’une fonction, mais plutôt la recherche de la plus grande/petite valeur du tableau) ou ils peuvent passer mentalement d’abord à un autre registre puis donner cette réponse.

Par contre nous avons constaté que 67 élèves au total (26%) donnent une réponse dans cette catégorie en utilisant le registre graphique (soit ils tracent une courbe soit ils utilisent des arguments du registre graphique).

Nous pouvons en outre souligner, comme dans la réponse du type « 1/hors tableau », l’absence de justification se basant l’utilisation du tableau de variations, même si les élèves ont une connaissance suffisante sur la construction d’un tableau de variations (cf. question 1Aa). Ceci nous montre qu’ils n’arrivent pas à adapter ces connaissances au contexte particulier. Autrement dit, ils ont des connaissances disponibles mais non mobilisables sur le tableau de variations (Robert, 1998).