I.1. Présentation générale de l’activité 1

Comme nous l’avons dit, le but essentiel de cette activité est de voir comment les élèves, avant tout enseignement sur les fonctions, décrivent une courbe et, en particulier, d’évaluer la pertinence de leur argumentation par rapport à la représentation d’une fonction.

Nous proposons tout d’abord aux élèves un jeu de message dans lequel ils doivent décrire une courbe donnée, par tous les moyens qu’ils veulent (sauf une courbe), de façon à ce que leurs camarades puissent tracer une courbe la plus ressemblante possible. La classe est donc divisé en deux : des groupes deux ou trois élèves sont constitués, certains, les émetteurs devront écrire un message, les autres, les récepteurs devront tracer une courbe.

A cause du jeu de message, comme les groupes récepteurs doivent reproduire la courbe, le but de cette activité est de faire émerger la nécessité d’une description de la courbe en termes de variations continues dépassant ainsi la description point par point dont nous faisons l’hypothèse qu’elle sera prédominante.

Ensuite, le professeur fera une mise en commun des messages et des courbes obtenues. Celle-ci devra permettre de discuter de la pertinence des informations données par les groupes émetteurs et de la question de la ressemblance des courbes. En effet, nous sommes conscients de la relative et volontaire ambiguïté de la formulation « la plus ressemblante possible », mais elle doit permettre d’initier une discussion.

Ainsi pendant ce moment de mise en commun, c’est bien le statut des objets tableaux de valeurs et de variations (même si les élèves ne les ont pas encore produits) qui est en jeu ainsi que les liens entre tableaux et courbe.

Le professeur pourra donc montrer la non exhaustivité des données du tableau de valeurs et l’importance de la prise en compte des variations. De plus, grâce aux discussions sur « la plus ressemblante possible », il pourra également introduire le tableau de variations et montrer ses limites par rapport à la courbe.

Voici donc la courbe que nous avons proposée aux élèves des groupes émetteurs ; aux groupes récepteurs, nous avons donné des quadrillages vierges.

Si l’on considère une courbe indépendamment d’une fonction, on peut dire que c’est une ligne tracée dans le plan. Dans ce cas, pour décrire la courbe on peut faire appel à une description en termes de forme (par exemple, la courbe est arrondie, il y a un pointu, ça ressemble à, …) ou bien on peut relever des points qui semblent déterminants pour la forme (comme dans les jeux où l’on reproduit un dessin en reliant des points).

Si maintenant on pense la courbe comme représentant une fonction, on va donner des couples de coordonnées (conception de la fonction comme relation entre deux ensembles de valeurs). Les points choisis ne seront pas forcément les mêmes dans ces deux dernières conceptions.

Enfin on peut introduire des informations relatives à l’idée de variation. Dans une version discrète, cela peut conduire à donner systématiquement tous les points qui sont des extrema ; dans ce cas, il sera difficile de distinguer cette procédure de celle, relative à la description de forme, dans la mesure où les extrema sont aussi des points remarquables pour la forme.

Dans une version continue, on peut décrire globalement les variations par des expressions telles que « la courbe monte, descend, … ».

Détaillons maintenant les choix que nous avons faits pour cette courbe.

Liste des variables didactiques :

• Quadrillage (existence, pas)
• Domaine de définition de la fonction
• Ensemble image de la fonction
• Extrema (nombre, valeurs des abscisses, valeurs des ordonnées)
• Ordonnées des points à abscisses entières
• Nombre de points d’intersection avec les nœuds du quadrillage
• Possibilité de conjecturer une expression algébrique.

Nous avons choisi les variables de façon à favoriser la procédure de description en termes de variations continues.

• Quadrillage (existence, pas)

Nous avons choisi de fournir un quadrillage pour permettre une certaine lisibilité des points pour écrire les messages.

Le pas 1/2 est le même sur les deux axes. Nous avons choisi ce pas 1/2 pour différencier les procédures qui ne prendraient a priori en compte que les entiers et celles qui s’appuient sur le quadrillage. Cela nous permet de faire apparaître des nœuds du quadrillage sur la courbe qui ne correspondent pas à des abscisses ou à des ordonnées entières.

• Domaine de définition de la fonction

Nous avons choisi comme domaine [-4 ; 4]. En effet, il fallait une amplitude comprenant un nombre de valeurs entières assez grand (mais pas trop) pour laisser croire que connaître la fonction sur ces valeurs est suffisant pour décrire entièrement la courbe.

De plus nous avons choisi un intervalle symétrique par rapport à l’origine en conformité avec une pratique habituelle à ce niveau d’enseignement.

• Ensemble image de la fonction

Nous avons choisi [-0, 5 ; 2]. Ici les arguments essentiels sont liés à la place occupée sur la feuille et à une bonne lisibilité des variations.

• Extrema (nombre, valeurs des abscisses, valeurs des ordonnées)

Pour favoriser une description en termes de variations continues, il fallait avoir un nombre suffisant d’extrema, nous avons choisi d’en mettre 4 en plus des bornes.

Pour discriminer de la procédure « valeurs entières », nous avons placé 3 des 4 extrema locaux en des abscisses non entières. Toutefois, pour des questions de lisibilité, nous avons placé les 6 points correspondant aux extrema en des nœuds du quadrillage.

• Ordonnées des points à abscisses entières

Pour déstabiliser sans décourager entièrement la procédure « valeurs entières », nous avons donné aux 9 points à abscisse entière :

• 2 fois une ordonnée entière
• 2 fois une ordonnée demi-entière.

• Nombre de points d’intersection avec les nœuds du quadrillage

Au vu des variables didactiques précédentes, il fallait introduire des points de la courbe qui soient des nœuds du quadrillage sans être ni des points à coordonnées entières ni des extrema, de façon à pouvoir discriminer les différentes procédures par des observables.

Sur les 17 points à abscisse demi entière, 9 correspondent à des nœuds du quadrillage, dont les 6 extrema. Par ailleurs, 2 nœuds sur la courbe ne correspondent ni à des extrema, ni à des abscisses entières.

• Possibilité de conjecturer une expression algébrique

Nous avons choisi une courbe qui change du sens plusieurs fois et qui n’est pas habituelle pour la classe de seconde. Ainsi, nous avons voulu empêcher toute tentative pour retrouver une expression algébrique.