I.2. Analyse a priori des procédures des élèves

I.2.1 Groupes émetteurs

1) Si les élèves considèrent cette courbe comme une ligne tracée dans le plan, le quadrillage joue alors le rôle essentiel dans les descriptions qu’ils donnent. Ils peuvent donc donner les réponses suivantes :

Soit ils donnent tout simplement les points d’intersection entre la courbe et le quadrillage sans utiliser une façon particulière de les présenter (quadrillage simple)

Soit ils décrivent un programme de construction qui donne des informations sur la forme de la courbe. Ils donneront alors des réponses du type : « Commencez par le point (-4 ; 2), puis allez jusqu’au point (-2,5 ; 0,5) en passant par le point (-3 ; 1,5) … » en ne rendant compte que des nœuds du quadrillage sur la courbe (quadrillage programme).

Soit ils produisent un tableau de valeurs à partir des valeurs où il y a une intersection entre la courbe et le quadrillage. Ils peuvent ainsi donner le tableau de valeurs suivant (quadrillage tableau):

Ceux qui utilisent ces procédures travaillent sur la courbe comme si c’était un dessin dans un quadrillage indépendamment de tout le reste. Ils se trouvent donc dans le domaine graphique et pas du tout dans la représentation d’une relation entre deux variables, comme si la fonction n’existait pas pour eux. En d’autres termes, le milieu matériel (quadrillage et courbe) renvoie à un jeu qui consiste à relever les « nœuds » du quadrillage qui se trouvent sur la courbe.

2) Si les élèves considèrent que cette courbe est une représentation d’une fonction (points marquant des correspondances entre valeurs), ils prennent alors des points remarquables par leurs valeurs mais pas par leurs positions sur la courbe. Ils rentrent ainsi dans un automatisme qui consiste à prendre, par exemple, toutes les valeurs entières des abscisses, avant même de se poser des questions sur la courbe.

Nous pensons que ces procédures sont guidées par la connaissance de ce qu’est un tableau de valeurs et les élèves le remplissent par rapport à la lecture de la courbe. Il s’agit donc d’un échantillonnage par les valeurs régulièrement espacées. C’est pourquoi les élèves n’utiliseront que le tableau de valeurs pour leurs réponses.

Ils donneront ainsi le tableau de valeurs suivant avec toutes les valeurs des abscisses entières (tableau entier).

x	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
y	2	1,5	1,45	2	-0,25	1,15	1,40	0,75	0,5

Les valeurs des ordonnées pour x = -2, 0, 1, 2 et 3 peuvent être données différemment par les élèves puisqu’il s’agit de valeurs approchées.

Comme nous l’avons prévu dans le choix de la courbe, cette stratégie est remise en cause par le fait qu’il faille donner des valeurs approchées ainsi que par le fait que beaucoup de points remarquable de la courbe ne sont pas pris en compte. Ainsi, les élèves peuvent basculer sur une autre stratégie (par exemple la stratégie « quadrillage »).

Certains élèves peuvent mettre les points d’abscisses demi-entières en plus des points d’abscisses entières. Il s’agit bien ici de détecter les stratégies consistant à remplir systématiquement un tableau de valeurs à partir d’abscisses de forme déterminée (entiers ou demi-entiers) et pas seulement du rajout de certains points à partir des points d’abscisses entières (tableau demi-entier).

3) Les élèves peuvent donner des informations relatives à l’idée de variation. Dans ce cas, ils peuvent utiliser les procédures suivantes :

Soit ils donneront tout simplement les points qui correspondent aux extrema sans utiliser une façon de les présenter. Ici les élèves n’ayant pas encore vu en cours ce que sont les variations et les extrema, il n’est pas simple pour eux de désigner les points correspondant aux extrema en tant que tels. Cependant, si ces seuls points sont donnés, on peut supposer que les élèves ont reconnu leur importance sans savoir les nommer (extrema simple)

Soit ils écrivent un programme de construction qui donne des informations sur les variations de la courbe (utilisant des expressions telles que ça monte, ça descend, etc.) en faisant apparaître plus ou moins explicitement les extrema de la fonction. Ils donneront alors des réponses du type : « Commencez par le point (-4 ; 2), puis descendez jusqu’au point (-2,5 ; 0,5) … » (extrema programme).

Soit ils produisent un tableau de valeurs à partir des points qui correspondent aux extrema de la fonction (ici la même remarque que pour la procédure extrema simple s’applique). Ils peuvent ainsi donner le tableau de valeurs suivant (extrema tableau):

x	-4	-2,5	-1	-0,5	1,5	4
y	2	0,5	2	-0,5	1,5	0,5

Ceux qui utilisent ces trois stratégies ont une conception discrète relative à l’idée de variation sur la fonction.

Certains élèves peuvent décrire globalement les variations par des expressions telles que « la courbe monte, descend, … ». Dans ce cas, on peut dire qu’ils ont une conception continue sur la fonction. (variation continue).

4) Les élèves peuvent avoir tendance à donner un maximum d’informations sur la courbe : soit un tableau de valeurs et des informations en langue naturelle (ça monte, ça descend, ça ressemble à une montagne, c’est pas régulier, ce ne sont pas des morceaux de droites, etc.) (langue naturelle), soit un maximum de points sur la courbe, par exemple toutes les coordonnées entières et les points du quadrillage (tableau maximum).

Voici un exemple que les élèves peuvent donner :

x	-4	-3	-2,5	-2	-1	-0,5	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3	4
y	2	1,5	0,5	1,25	2	-0,5	-0,25	0,5	1,15	1,5	1,40	1	0,75	0,5

Elle est proche de la stratégie quadrillage mais c’est une stratégie plus systématique.

Il ne sera pas toujours facile de distinguer les différentes procédures à la simple analyse du message final. Ainsi une procédure extrema simple renforcée par quelques points peut donner le même message que la procédure quadrillage. A ce sujet, il est à noter que le fait de ne pas avoir choisi de points qui correspondent à des extrema hors des nœuds du quadrillage rend la chose difficile, mais alors, la lecture des extrema aurait posé problème.