1) La correspondance univoque entre tableau de valeurs et tableau de variations

Les élèves peuvent compléter le tableau de variations selon les données du tableau de valeurs et seulement celles-ci. Ils n’introduisent aucune valeur entre 2 et 3 et même disent que c’est impossible. Ils considèrent que la fonction est croissante sur [-1 ; 3] ce qui est compatible « directe » avec le tableau de valeurs de la question. Ceci les conduit au tableau de variations suivant :

Face à la partie entre 2 et 3 les élèves peuvent réagir d’au moins deux façons distinctes :

Certains élèves peuvent répondre « non, ce tableau de variations est impossible, puisque la fonction n’est que croissante sur l’intervalle [-1 ; 3] et on ne peut pas changer les données ». Ainsi ils nous montrent qu’ils n’arrivent pas à envisager que la fonction puisse ne pas être monotone entre deux valeurs d’abscisses entières.

Certains élèves peuvent répondre « on ne peut pas répondre à cette question, car on ne nous donne que certaines valeurs de x et il y a plusieurs valeurs qu’on ne connaît pas. On ne peut pas deviner le x et son correspondant, etc. » sans compléter le tableau de variations donné. Ils montrent ainsi un certain degré de compréhension, mais n’ont pas encore une maîtrise suffisante du tableau de variations pour répondre correctement. En plus, ils considèrent que les valeurs données ont des particularités importantes.

La dernière stratégie que nous venons de citer nous donne l’autorisation de faire l’hypothèse qu’il s’agit d’une tâche hors du contrat pour les élèves. Puisque, comme nous l’avons vu dans l’analyse des manuels, les valeurs sont calculées à partir d’une formule ou d’une courbe ; « Invention des valeurs qui ne sont pas produits par un calcul (par exemple)» peut gêner les élèves et ainsi ils utilisent cette stratégie par cet effet du contrat.

1bis) Les élèves peuvent introduire un point dans l’intervalle [2 ; 3] dont les coordonnées sont les moyennes des coordonnées de (2 ; 1) et de (3 ; 2), ce qui n’est pas conforme avec les variations de la fonction. Ces élèves, comme les précédents, travaillent essentiellement dans le registre numérique, pour eux compléter le tableau de variations revient à intercaler des nombres dans celui-ci et les flèches ont encore un sens obscur. Voici le tableau de variations produit :

Nous pensons que ces élèves garderont la même idée pour la question 2b, et ils vont choisir des valeurs toujours comprises entre 2 et 3 pour les abscisses et entre 1 et 2 pour les ordonnées.