I. Première séance sur la fonction (cours : généralités sur les fonctions)

Avant la première séance, comme nous l’avons déjà dit, nous avons eu deux entretiens avec le professeur. Il s’agissait, d’une part, de lui expliquer assez précisément ce que nous voulions faire et, d’autre part, d’obtenir son adhésion sur les exercices et l’ensemble du dispositif à mettre en œuvre. En bref, nous avons voulu voir la faisabilité de notre proposition tout en prenant en compte ce qu’il avait l’habitude de faire.

Dans ce cadre, la première séance n’a pas été élaborée par nous. Elle avait pour but d’introduire certaines premières définitions liées aux fonctions. C’est une séance que le professeur réalise chaque année avec des documents semblables. Plus précisément, en partant d’une activité fondée sur une situation concrète (courbe de la concentration du paracétamol dans le sang en fonction du temps écoulé), le professeur a demandé de lire des informations sur la courbe (voir annexe C), puis il a introduit les notions d’image, d’antécédents, de fonction et de l’ensemble de définition.

Cette séance a été observée et filmée. Nous avons ainsi pu constater que les élèves avaient des connaissances élémentaires sur les fonctions, acquises en fin de collège, comme les notions d’abscisse et d’ordonnée. Dans l’ensemble, la réussite à l’activité a été plutôt bonne. Faisons deux remarques qui auront leur importance pour la suite. Tout d’abord, il est à noter que le professeur n’a pas voulu que les élèves donnent les valeurs approchées pour certaines valeurs, il a préféré des intervalles. Ensuite, quand les élèves ont rempli le tableau de valeurs, il a introduit la définition d’une fonction et la notion d’ensemble de définition, en ces termes :

Définition : Soit D un intervalle ou une réunion d’intervalles de IR. On définit une fonction f sur D si à chaque réel x de D on associe un réel et un seul.

On note ce réel f(x) on lit « f de x » 

D est l’ensemble de définition de f. Le réel f(x) est l’image de x par f. Si f(x) = y on dit que x est un antécédent de y par f.

On peut noter la fonction de la manière suivante :

f : x → f(x) pour x єD 

Il a également dicté une autre définition liée à l’activité du paracétamol.

On appelle f la fonction qui a chaque instant t de [10 ; 240] fait correspondre la concentration du paracétamol dans le sang.

Il a introduit les notions d’image et d’antécédent à partir de la même activité et chaque fois il a employé ces deux mots « image » et « antécédent » dans des phrases.

Enfin, dans un autre exercice, il a introduit une expression algébrique pour faire calculer des images de certaines valeurs. : g est définie sur IR par g(x) = 2x² - 1 . Après avoir demandé de calculer g(0) et g(-5), il a demandé aux élèves de remplir le tableau de valeurs suivant; ce que les élèves ont commencé de faire. La première séance se termine ainsi.

Dans cette séance, le professeur a fait travailler les élèves dans différents registres (graphique, algébrique, tableau de valeurs) sans le préciser explicitement aux élèves et sans en privilégier aucun. Il s’est essentiellement appuyé sur les connaissances antérieures des élèves sur les objets relevant de ces trois registres sans revenir dessus. Or les élèves n’ont vu, en classe de 3ème, que des fonctions affines (donc seulement des droites comme représentations graphiques, des expressions du type y = ax +b et des tableaux de valeurs ne comportant que quelques couples de valeurs).

Notons que ce tableau de valeurs, conforme à la pratique habituelle à ce niveau d’enseignement (d’après notre analyse de manuels), a été introduit par le professeur sans qu’il questionne les élèves sur leur habitude d’un tel mode de représentation comme si cela allait de soi. On voit donc ici, conformément à nos analyses, que le tableau de valeurs est considéré par les enseignants comme un objet non problématique.