I. Troisième séance (cours : étude des variations d’une fonction)

Le professeur est revenu sur l’activité 1 et après avoir précisé le fait qu’entre deux points du tableau de valeurs on peut tracer différentes courbes, a dit que les tableaux de valeurs ne suffisent pas pour faire tracer la même courbe et qu’il y a une autre information qu’il faut donner : ce sont les variations des fonctions.

Ensuite il a précisé ce qui allait être défini dans cette séance : une fonction croissante correspond à une courbe qui monte sur un intervalle et une fonction décroissante correspond à une courbe qui descend sur un intervalle.

Il a utilisé la courbe de l’activité 1 pour introduire les notions liées au sens de variation d’une fonction. Il a d’abord choisi l’intervalle [-0,5 ; 1,5] où la fonction est croissante. Il a montré que dans cet intervalle les abscisses et les ordonnées sont rangées dans le même ordre. Il a ensuite choisi l’intervalle [1,5 ; 4] où la fonction est décroissante. Il a monté que dans cet intervalle, les abscisses et les ordonnées sont rangées dans l’ordre contraire. A partir de là, il a conclu ainsi :

Donc ceci va nous conduire à la définition :

On dira que la fonction est croissante, lorsque la courbe monte. Les abscisses et les ordonnées des points sont alors rangées dans le même ordre.

On dira que la fonction est décroissante, lorsque la courbe descend. Les abscisses et les ordonnées des points sont alors rangées dans l’ordre contraire.

Il a ensuite dicté la définition suivante :

f est une fonction. D son ensemble de définition. Dire que la fonction f est croissante sur I, intervalle de D signifie que pour tout réel a, bєI, si a ≤ b alors f(a) ≤ f(b).

Les nombres f(a) et f(b) sont dans la même ordre que a et b.

On dit que f conserve l’ordre

Après avoir illustré la définition ci-dessus par une courbe, il a dicté la définition d’une fonction décroissante.

Dire que f est décroissante sur I, intervalle de D signifie que pour tout réel a et b de I,

si a ≤ b alors f(a) ≥ f(b).

Les nombres f(a) et f(b) sont rangés dans l’ordre contraire de celui de a et b.

On dit que la fonction f change l’ordre.

Il est ensuite passé directement au tableau de variations d’une fonction en disant : « Bon pour résumer, pour schématiser les variations d’une fonction on va utiliser ce qu’on appelle un tableau de variations ». Il a commencé à construire le tableau de variations dont la fonction est représentée par la courbe de l’activité 1.

Voici ce que le professeur a dit pendant qu’il a construit le tableau de variations :

‘Alors, ce tableau comporte deux lignes : Dans la première ligne je vais mettre les valeurs de x, dans la seconde ligne, les valeurs de f(x). Dans la première ligne, je vais indiquer les valeurs de x pour lesquelles il y a un changement dans la variation de la fonction. Je commence d’abord par indiquer l’ensemble de définition (…). Ensuite je regarde les valeurs de x pour lesquelles il y a un changement de variation. Donc on voit que la courbe descend jusqu’au point d’abscisse -2,5 donc je marque « -2,5 » (…). Ensuite les variations de la fonction par des flèches : lorsque la courbe monte eh bien je représente par une flèche qui monte, lorsque la courbe descend je représente par une flèche qui descend (…) et ensuite on va mettre aux extrémités des flèches les valeurs de f(x) qui correspondent (…).’

Une fois qu’il a eu fini le tableau de variations, il a donné les précisions suivantes sur ce tableau :

‘Alors attention j’ai dessiné ici des flèches cela ne signifie pas que sur l’intervalle [-4 ; -2,5] la courbe est un segment de droite, ça signifie simplement que, puisque le flèche descend, que la courbe descend voilà.’ ‘Vous voyez que ce tableau il me fournit comme informations les variations de la fonction et d’autre part, j’ai des points de la courbe. Donc déjà ces deux informations dans ce tableau ! Par contre, si je prends par exemple l’intervalle [-0,5 ; 1,5], je sais que la fonction est croissante dans cet intervalle, je sais aussi que la courbe va passer par les points (-0,5 ; -0,5) et (1,5 ; 1,5) mais par contre, je n’ai aucune information sur les points intermédiaires si ce n’est que les abscisses et les ordonnées de ces points sont rangées dans les mêmes ordres. ’

Pour terminer le séance, il a proposé aux élèves trois courbes à partir de l’activité 1bis et il a demandé de construire les tableaux de variations correspondants. Les élèves ont commencé à répondre, mais faute de temps, la séance s’est terminée sans mise en commun ni correction. Le professeur a alors demandé de finir à la maison.

Pour résumer, on voit donc que, dans cette séance, le professeur a introduit les notions de fonction croissante et de fonction décroissante à partir du registre graphique en prenant la courbe de l’activité 1 comme exemple et en mettant en avant l’aspect visuel de la croissance (« la courbe monte »). Puis il a donné une définition formelle de ces notions dans le registre symbolique à partir de la lecture graphique. Néanmoins, les élèves n’ont pas eu d’occasion ni de donner leur opinion ni de travailler ces notions avec des exercices.

D’autre part, il a donné un procédé de construction d’un tableau de variations en donnant pour seul objectif de résumer les variations d’une fonction. Il a en plus anticipé des erreurs d’élèves (Confusion entre les flèches du tableau et les segments de la courbe, non connaissance des valeurs de la fonction entre les extrema) mais sans faire faire des activités qui permettraient de travailler ces difficultés.