Les réponses des élèves

Le lendemain, nous avons recueilli les réponses des élèves pour l’exercice laissé à chercher à la maison en fin de séance. 22 élèves sur 28 nous ont rendu leurs copies.

Rappelons que les trois courbes données par le professeurs étaient issues de l’activité 1bis, c’est-à-dire qu’elles avaient en commun de passer toutes les trois par les trois points K(-2.5 ;1) L(-0.5 ;-1) et M (2 ; 1.5). De fait de nombreux élèves ont ressenti la nécessité de reporter les abscisses et ordonnées de ces points dans leurs tableaux de variations, ce qui a un peu brouillé les réponses. Néanmoins, on voit très nettement que pour quasiment la moitié de ces élèves, la syntaxe d’un tableau de variations pose des difficultés et qu’il y a des interférences avec les tableau de valeurs. Ces élèves semblent en effet tous construire leur idée d’un tableau de variations à partir d’un tableau de valeurs en adaptant leurs connaissances. Cela va de celui qui donne tout simplement un tableau de valeurs, à ceux qui ne gardent que quelques résidus visuels du tableau de valeurs (les cases séparées pour les valeurs de x) en passant par ceux qui rajoutent des flèches dans des cases d’un tableau de valeurs. Dans cette première activité où les élèves ont la responsabilité de construire des tableaux de variations, on perçoit la difficulté à comprendre le mode de traitement dans un registre nouveau qui se construit, consciemment ou non, à partir du registre connu des tableaux de valeurs.

Pour mieux saisir la diversité de ces difficultés, qui vraisemblablement ne persisteront pas, nous donnons ci-dessous, la plupart d’entre elles, avec quelques commentaires. Notons que les réponses des élèves sont cohérentes dans les trois cas, nous ne donnerons donc leurs réponses pour un même élève qu’à un seul des trois tableaux de variations. Par ailleurs, la plupart des élèves commettent aussi quelques erreurs dans la lecture des variations, qui restent cependant minimes et semblent plus relever de l’étourderie. Nous ne les prendrons pas en compte dans notre analyse pour ne pas surcharger.

Un élève donne carrément trois tableaux de valeurs en prenant en compte les valeurs extrémales des fonctions et les points K, L, M que nous avions fixés sur la courbe de l’activité 1bis. Voici un des tableaux de valeurs qu’il a donné :

Deux autres élèves repèrent bien implicitement les points où la fonction change de variations, mais ne semblent pas avoir compris les règles de construction d’un tableau de variations. En effet, ils découpent le tableau de variations en cases pour chaque couple de valeurs (x, f(x)). Voici un des tableaux de variations qu’ils ont donné (pour la première courbe, les réponses aux autres courbes étant construites sur le même principe) :

Un de ces élèves n’a pas rempli les valeurs correspondant de la fonction et l’autre ne les met pas aux extrémités des flèches, il les met donc dans le même niveau.

Deux élèves découpent le tableau de variations en cases seulement pour les valeurs de x. Voici le type de tableau de variations qu’ils ont donné :

Un de ces élèves met les valeurs correspondantes de f(x) en bas du tableau au lieu de les mettre aux extrémités des flèches.

Un autre élève donne le tableau de variations suivant (pour la deuxième courbe, les réponses aux autres courbes étant construites sur le même principe) :

Cet élève part d’un tableau de valeurs qui contient les extrema et quelques autres valeurs et essaie de mettre des flèches dans la ligne des valeurs de f(x). Ayant apparemment bien compris l’usage des flèches et la syntaxe qui y est attaché il donne un tableau qui peut sembler complexe mais qui est tout à fait cohérent avec son mode d’approche.

Un autre élève utilise des flèches qui ont la même forme de la courbe en terme de concavité. C'est-à-dire que les flèches qu’il utilise ne sont pas faites par des segments de droite mais elles ont de la forme concave ou convexe selon la forme de la courbe dans cet intervalle. Voici un des tableaux de variations qu’il a donné :

Finalement un peu plus de la moitié des élèves (12 sur 22) arrivent à répondre à peu près correctement à cet exercice, même si 6 d’entre eux rajoutent les valeurs correspondant aux points K, L, M (en rajoutant les valeurs de f(x) sur la flèche). Notons aussi le cas d’un élève qui en plus, trace des flèches courbes et non rectiligne (peut-être est-ce lié à la remarque de l’enseignant lors de la séance de cours).

Ces résultats montre que contrairement à ce qu’on aurait pu croire, en début d’apprentissage, construire correctement un tableau de variations peut être problématique pour un nombre non négligeable d’élèves. Ces difficultés semblent venir d’une prégnance de la syntaxe du tableau de valeurs qui vient brouiller la compréhension du codage correct d’un tableau de variation. Il est fort probable que ces difficultés ne persistent pas, au moins dans des tâches routinières, mais elles peuvent toutefois ressurgir dans des situations moins habituelles. Dans ce sens, il sera intéressant d’observer les difficultés éventuelles des élèves dans l’activité 2 où les trois registres, graphique, tableau de valeurs et tableau de variations vont se trouver mêlés, avec des conversions nécessaires à plusieurs niveaux.