II.1.2 Exercice 2

Rappelons tout d’abord le deuxième exercice qui est distribuée aux élèves, après avoir ramassé leurs réponses pour l’exercice 1.

« Soit une fonction f définie sur l’intervalle [-3; 3] dont on connaît le tableau de valeurs suivant :

a. Complétez le tableau de variations ci-dessous pour qu’il soit compatible avec ce tableau de valeurs.

b. Y a-t-il d’autres façons de le compléter ? Si oui, lesquelles ?

Si non, expliquez ».

Nous avons distingué trois réponses différentes selon les termes de notre analyse a priori :

1. La réponse « correspondance univoque entre tableau de valeurs et tableau de variations »

9 élèves donnent ce type de réponse : ils complètent le tableau de variations selon les données du tableau de valeurs et seulement de celles-ci. Leur réponse indique que la fonction est croissante sur l’intervalle [-1 ; 2] (où nous avions mis un grand point d’interrogation). Voici le tableau de variations qu’ils donnent :

Une variabilité apparaît cependant pour ces 9 élèves dans leur façon de compléter la partie du tableau entre les valeurs 2 et 3 des abscisses. Trois types de réponses sont apparus :

1a. Ceux qui n’ont rien précisé

4 élèves (E2, E4, E11 et E24)n’ont rien précisé pour la partie entre 2 et 3. Deux d’entre eux disent « non » (E2) et « je ne sais pas » (E4) à la question b. Un autre précise « non car à chaque abscisse correspond à une seule ordonnée ». Ces trois élèves n’ont rien écrit sur les tableaux de variations données pour la question b.

Celui (E24) qui dit « je ne sais pas » trace au dos de la feuille une courbe simple lisse et s’appuie sur ce tracé pour dire qu’il n’y a qu’une possibilité, tout en restant incapable de gérer ce qui peut se passer entre 2 et 3. Bien sûr cet élève était dans la première catégorie (ceux qui ne tracent que des courbes légèrement différentes) dans l’exercice 1. On voit que cet élève a en fait besoin de passer par le tracé d’une courbe pour passer d’un tableau de valeurs à un tableau de variations, il est incapable de faire une conversion directe. De fait, n’ayant qu’un seul modèle de courbe correspondant à un seul tableau de variations, non compatible avec celui à compléter, il ne peut répondre à la question et se trouve incapable de gérer la contradiction.

Un autre élève (E11) manipule les valeurs du tableau de valeurs qui n’apparaissent pas dans le tableau de variations donné et il les met sans faire attention au sens des flèches. Il ne précise pas le comportement entre 2 et 3.

Ces réponses nous montrent que ces élèves n’arrivent pas à passer directement du tableau de valeurs au tableau de variations. Ils peuvent avoir besoin de passer par le tracé d’une courbe, mais même dans ce cas, ils n’arrivent pas à voir qu’entre deux valeurs du tableau de valeurs, il peut y avoir une grande variabilité. Ce résultat n’est pas vraiment étonnant car les élèves sont au début de l’apprentissage des fonctions et ne manient ce nouvel outil que constitue le tableau de variations que depuis peu de temps.Cependant, il nous semble intéressant de souligner à travers ces exemples combien les activités de conversion peuvent se révéler difficiles mais importantes du point des apprentissages sur les fonctions.

Remarquons que si trois de ces élèves n’ont tracé que des courbes proches de la courbe simple lisse dans l’exercice 1, E2 par contre a tracé des « courbes libres ». Pour cet élève, il semble donc que ce soit le lien entre le tableau de valeurs et le tableau de variations qui pose problème et que la courbe n’est pas envisagée comme un intermédiaire.

1b. Ceux qui disent « non, ce tableau est faux !... »

Il s’agit trois élèves (E1, E6, E9) qui disent que ce tableau de variations est faux car la fonction est croissante sur l’intervalle [-1 ; 3] selon les données du tableau de valeurs qu’ils reportent dans le tableau de variations. Certains élèves vont même jusqu’à barrer la flèche qui montre que la fonction est décroissante sur une partie de l’intervalle [2 ; 3]. Voici deux exemples qu’ils donnent comme réponse :

Ces élèves donnent les explications suivantes :

E1 : « Je ne comprend pas la présence de la flèche (qui débute à 2 x) qui signifie que la courbe est décroissante alors qu’elle est croissante »

E6 : « Je pense que ce tableau de valeurs est faux car entre l’intervalle [-1 ; 3], la ligne monte et reste continue donc pourquoi au point 2, la courbe descend ce qui est faux »

E9 : « Le tableau est faux car la courbe de [-1 ; 3] est croissante »

E9 trace, en plus, une courbe simple lisse derrière sa feuille à partir des données du tableau de valeurs.

Ces réponses indiquent certainement que les élèves n’arrivent pas à envisager que la fonction puisse ne pas être monotone entre deux valeurs d’abscisses entières et ils ont du mal à abandonner certaines informations lors du passage au tableau de variations.

Pour l’exercice 1, E6 et E9 ont tracé des courbes ressemblantes à la courbe initiale et E1 a tracé des courbes qui ne représentent pas une fonction.

1c. Ceux qui disent « on ne peut pas répondre à cette question… »

Il s’agit de 2 élèves (E18, E20) qui disent qu’on ne peut pas compléter la partie entre 2 et 3, car on ne connaît pas la fonction. Voici leurs explications :

E18 : « On n’a pas les données nécessaires pour compléter »

E20 : « On ne peut pas remplir ce vide car on ne connaît ni x ni f(x) »

Pour la question b, E18, sans donner d’explication, rajoute des valeurs du tableau de valeurs qui n’apparaissent pas dans le tableau de variations et qui ne sont pas pertinentes. Par contre, E20 dit « oui en regardant la courbe » sans ajouter autre chose à sa réponse. Notons de plus que E20 a tracé des courbes « libres » pour l’exercice 1.

Les réponses de ces deux élèves semblent être une réaction à une tâche hors contrat, puisque, comme nous l’avons vu dans l’analyse des manuels, les valeurs sont calculées à partir d’une formule ou déterminées à partir d’une courbe. Inventer des valeurs qui ne sont pas produites par un calcul peut gêner les élèves qui avouent ainsi ne pas pouvoir répondre.

2. Introduire dans l’intervalle [2 ; 3] le milieu des points (2 ; 1) et (3 ; 2)

8 élèves introduisent dans l’intervalle [2 ; 3] le point de coordonnées (2.5 ; 1.5) milieu des points de coordonnées (2 ; 1) et (3 ; 2). Or ce point n’est pas conforme avec les variations de la fonction. Voici le tableau de variations qu’ils donnent comme réponse :

Il y a certainement là un effet de contrat relevant du numérique : les coordonnées de ce point doivent apparaître comme résultat d’un calcul (moyenne des coordonnées). De plus, comme nous l’avons déjà dit, cette question où il faut « inventer » les coordonnées d’un point est peu habituelle pour les élèves.

Par ailleurs, tous ces élèves donnent des réponses telles que la fonction est croissante sur l’intervalle [-1 ; 2] (où nous avions mis un grand point d’interrogation), sauf un élève (E13) qui n’a rien écrit sur cet intervalle et dit « je ne sais pas car je ne comprends pas ce que je dois mettre à la place du grand point d’interrogation. Un chiffre ou une flèche ? ».

Leurs réactions pour la question b ;

Deux élèves (E16, E25) gardent la même idée et ils choissent des valeurs toujours comprises entre 2 et 3 pour les abscisses et entre 1 et 2 pour les ordonnées :

E16 ne change que les ordonnées et il choisit les valeurs « 1.75 » et « 1.90 » et il garde l’abscisse « 2.5 » et les autres parties du premier tableau de variations. E25 change en même temps les abscisses et les ordonnées et il choisit les points (2.1 ; 1.9) et (2.7 ; 1.2) en gardant les autres parties du premier tableau de variations.

Un élève (E17) change les abscisses et les ordonnées mais les valeurs qu’il choisit ne sont plus comprises entre 2 et 3 pour les abscisses et entre 1 et 2 pour les ordonnées. Il introduit aussi des points sur l’intervalle [-1 ; 2]. Par contre aucune des valeurs qu’il a choisies ne respecte le sens des flèches voire même l’ordre des abscisses.

Cinq d’entre eux (E5, E8, E12, E13, E19) ne répondent pas à la question b.

Ces élèves, comme les précédents, travaillent essentiellement dans le registre numérique, pour eux compléter le tableau de variations revient à intercaler des nombres dans celui-ci et les flèches ont encore un sens obscur.

3) le valeur « 0.5 » comme ordonnée… !

5 élèves (E7, E10, E14, E22, E28) introduisent la valeur « 0,5 » comme ordonnée dans l’intervalle [2 ; 3]. Trois d’entre eux ne précisent pas la valeur de l’abscisse correspondante dans cet intervalle et les deux autres mettent « 2,5 » comme abscisse. Voici le tableau de variations correspondant à ce type de réponse :

Leurs réactions face à la question b :

Un élève (E14) continue à mettre la valeur « 0.5 » en reportant les autres valeurs du tableau de valeurs.

Un élève (E10) change les points dans l’intervalle [2 ; 3] sans respecter l’ordre des abscisses et le sens des flèches qu’il utilise. Il rajoute également des valeurs dans l’intervalle [-1 ; 2] qui ne respectent plus le sens des flèches.

Les trois autres élèves n’ont rien ajouté dans les tableaux de variations donnés et un d’entre eux (E22) dit « oui, je pense qu’il y a d’autre possibilités car il y a plusieurs possibilités de courbes » et il trace une courbe lisse à l’arrière de la feuille. D’autre part, ce même élève a tracé des courbes « libres » pour l’exercice 1b. On voit donc que s’il a bien intégré la liberté que laisse un tableau de valeurs pour le tracé d’une courbe, il ne maîtrise encore pas suffisamment les tableaux de variations pour avoir cette même liberté, qu’il est toutefois capable d’envisager, même s’il ne peut la mettre en œuvre.

Finalement 22 élèves sur 28 n’arrivent pas à donner un tableau de variations compatible au tableau de valeurs donné. Ceci montre que le tableau de variations en tout début d’apprentissage reste un objet problématique que les élèves ont du mal à manier. Si certains de leurs blocages étaient déjà visibles ou prévisibles à la question 1, certains élèves montrent des difficultés bien spécifique aux tableaux de variations alors qu’ils avaient été capables de gérer plutôt bien le rapport entre tableau de valeurs et courbe à la question 1.

4. Réponses correctes

6 élèves arrivent à donner une réponse compatible avec le tableau de valeurs, tous choisissent la valeur « 2.5 » comme abscisse dans l’intervalle [2 ; 3]. Ils choissent en général les valeurs « 0,5 », « 0 », « -1 », « -2 » et « -3 » comme ordonnées de l’abscisse « 2,5 ». Les valeurs « -4 » et « -10 » sont apparues, chacune, par un élève.

Nous pouvons distinguer deux types de réponse selon leur façon de compléter la partie du tableau entre les valeurs -1 et 2 des abscisses :

4a. Sans introduire de nouvelle variation dans [-1 ; 2]

Quatre élèves (E3, E21, E23, E27) n’introduisent pas de nouvelle variation dans l’intervalle [-1 ; 2], ceci reste valable pour leurs réponses à la question b. Voici un des tableaux de variations donnés dans cette catégorie :

E3 choisit le point (2.5 ; 0) pour la question a) et il reporte toutes les valeurs du tableau de valeurs. Par contre, pour la question b), il dit « non il n’y a pas d’autres façons de le compléter car le tableau de variations ci-dessous donne le sens de variation ».

E21 choisit d’abord le point (2.5 ; 1.5) dont les coordonnées sont les moyennes de (2 ; 1) et de (3 ; 2), ce qui n’est pas compatible avec le tableau de variations. Ensuite il fait une correction en disant « erreur : on ne peut pas descendre vers (2.5 ; 1.5) » puis il choisit le point (2.5 ; 0). Pour la question b, il répond ainsi « on peut le compléter d’autre façon en changeant (2.5 ; 0) mais l’abscisse doit rester entre 2 et 3 et l’ordonné inférieure à 1 ».

E23 garde toujours la valeur « 2.5 » comme abscisse et il choisit les valeurs « 0 » et « -3 » comme ordonné dans l’intervalle [2 ; 3]. Par contre, pour la question b, il change aussi les autres valeurs à compléter, qui ne sont plus compatibles avec le tableau de valeurs.

E27 choisit d’abord le point (2.5 ; -2) dans l’intervalle [2 ; 3] et ensuite il change chaque fois, pour la question b, les abscisses et les ordonnées et il choisit ainsi les points (2.1 ; -10) et (2.9 ; 0.5).

4b. Introduire une variation supplémentaire dans [-1 ; 2] dès le début :

Il s’agit de 2 élèves (E15, E26). Tous les deux introduisent une nouvelle variation en utilisant, chacun, les points (1,5 ; -3) et (1,5 ; -2). Voici le tableau de variations proposé par E15 pour la question a :

Pour la question b, ils continuent à introduire une nouvelle variation dans l’intervalle [-1 ; 2], par contre E26 change les autres valeurs à compléter, qui ne sont plus compatibles avec le tableau de valeurs. Voici un de deux tableaux de variations qu’il a proposé :