II.2.3 Exercice 2

Nous avons distingué trois réponses différentes selon notre analyse a priori :

1. La réponse « correspondance univoque entre tableau de valeurs et tableau de variations »

9 élèves (E1, E4, E5, E6, E7, E21, E22, E25, E26) donnent ce type de réponse : ils complètent le tableau de variations selon les données du tableau de valeurs et seulement de celles-ci. Leur réponse indique que la fonction est croissante sur l’intervalle [-1 ; 2], sauf deux d’entre eux (E6, E7) qui n’indiquent pas le sens de variation de la fonction dans cet intervalle. Voici le tableau de variations qu’ils ont donné :

Nous précisons que ces élèves n’ont rien précisé, non plus, pour l’intervalle entre 2 et 3 dans leurs réponses à la question 2b.

Une variabilité apparaît cependant pour ces 9 élèves dans leur façon de traiter l’exercice 2b. Deux types de réponse sont en effet apparus.

1a. Ceux qui n’ont rien précisé sur les tableaux de variations donnés

6 élèves (E4, E5, E6, E7, E21, E22) n’ont donné aucun autre tableau à la question b, avec les explications suivantes (sauf E4 qui ne précise rien) :

E5 : « Non, il n’y a pas d’autre façon, car le premier tableau est impossible ».

On retrouve la réponse vue dans l’autre classe à savoir que cet élève ne voit que la correspondante directe entre deux tableaux et qu’il utilise le tableau de valeurs comme un tableau de variations. Il n’arrive donc pas à envisager que la fonction puisse ne pas être monotone entre deux valeurs d’abscisses entières. D’ailleurs, cet élève n’arrivait pas à tracer d’autre courbe, après avoir tracé une courbe « lisse », dans l’exercice 1 où il disait « on ne peut pas tracer d’autre courbe, car chaque valeur de x ou chaque image a un seul antécédent ».

E6 : « Nous avons que certaines valeurs de x donc il faut respecter ces valeurs, mais entre ces différents x, il y a plusieurs valeurs, que je ne connais pas. De plus, entre -1 et 2 je ne peut pas savoir le sens de variation, de même entre 2 et 3 je ne peux pas deviner quel x représente ? ».

E7 : « Je ne sais pas répondre à cette question car nous nous donnons que certaines valeurs de x ; de plus on ne nous donne pas le tracé de la courbe. La fonction peut être croissante de [-1 ; 1] et décroissante de [1 ; 2] ».

E21 : « Non, car il s’agit ici de remplir ce tableau mais les données du tableau on ne peut pas changer ces données. On ne peut pas changer le tableau de variations ».

E22 : « On ne peut pas compléter d’une autre façon car on peut mettre plusieurs chiffres dans l’intervalle [2 ; 3]. De plus, le tableau ne fournit pas assez d’élément : on ne connaît pas le sens de variation de l’intervalle [2 ; 3] ».

Les explications de ces élèves semblent être une réaction à une tâche hors contrat, puisque, comme nous l’avons vu dans l’analyse des manuels, le tableau de variations est en général établi à partir d’une formule ou d’une courbe. Inventer des valeurs qui ne sont pas produits par un calcul ou lues sur un graphique peut gêner les élèves qui avouent ainsi ne pas pouvoir répondre. Ces élèves montrent ainsi un certain degré de compréhension, mais n'ont pas encore une maîtrise suffisante du tableau de variations pour répondre correctement. De plus, ils peuvent être arrêtés par l’idée plus ou moins explicite qu’il n’y a qu’une bonne réponse et qu’ils manquent d’éléments pour LA trouver (cf. en particulier E21)

Nous rappelons que ces élèves utilisaient différentes stratégies dans l’exercice 1b ;

Remarquons que même si certains élèves montrent une bonne maîtrise dans la question 1, où ils évoquent la possibilité de variations diverses pour un même tableau de valeurs (en particulier E7, E21 et E22) ils peuvent avoir des difficultés à cette question, ce qui montrent que leur connaissances sont encore instables.

1b. Ceux qui mettent des précisions sur les tableaux de variations donnés :

3 élèves essaient de compléter les tableaux de variations donnés sans rien ajouter dans l’intervalle entre 2 et 3 des abscisses.

Rappelons que ces deux élèves traçaient des courbes en introduisant un nouvel extremum dans l’exercice 1b. On voit donc que leur stratégie est plutôt cohérente. Leur difficulté semble plutôt venir d’une difficulté à gérer l’arbitraire du choix de valeurs numériques (peut-être ont-ils encore des difficultés avec les nombres décimaux).

2. Introduire dans l’intervalle [2 ; 3] le milieu des points (2 ; 1) et (3 ; 2)

Un élève (E14) introduit dans l’intervalle [2 ; 3] le point de coordonnées (2.5 ; 1.5) milieu des points de coordonnées (2 ; 1) et (3 ; 2). Or ce point n’est pas conforme avec les variations de la fonction. Il rajoute aussi des valeurs du tableau de valeurs qui n’apparaissent pas dans le tableau de variations et qui ne sont pas pertinentes. Voici le tableau de variations qu’il a donné :

Pour la question 2b, il dit « On pourrait le compléter autrement en changeant des valeurs que nous ne connaissons pas » sans rien ajouter sur les tableaux de variations donnés.

Rappelons que cet élève traçait toujours des courbes ressemblantes à la courbe initiale dans l’exercice 1b.

3. La valeur « 0,5 » comme ordonnée… !

4 élèves (E10, E13, E20, E29) introduisent la valeur « 0,5 » comme ordonné dans l’intervalle [2 ; 3]. Cette valeur est compatible avec le tableau de variations demandé. Ce qui est surprenant c’est que ces élèves semblent incapables de donner une réponse avec une autre valeur (à la question b, soit ils ne répondent pas soit ils continue à donner cette valeur), comme si les entiers et les demi-entiers étaient les seuls nombres autorisés.

Voici les détails de leurs réponses ;

Pour la question b, il continue à utiliser la valeur « 0,5 » comme ordonnée dans l’intervalle [2 ; 3] sans préciser l’abscisse correspondant à cette valeur. Rappelons que cet élève a tracé deux courbes qui ne représentaient pas une fonction et une autre courbe qui ressemblaient à la courbe initiale dans l’exercice 1b.

Il donne l’explication suivante pour la question b, sans rien écrire sur les tableaux de variations donnés ; « Il n’ y a pas d’autre possibilité. La courbe représentait en arrière. Si on inverse x = 0 f(x) = 0 avec x = -2 f(x) = 1, c’est impossible à moins de tracer une nouvelle courbe. Ce cas serait identique si on inversait x = -2 f(x) = 1 avec x = 1 et f(x) = 0,5. ».

Pour la question b, il dit « Non, car les courbes n’auront pas les mêmes ordonnées donc pas les mêmes coordonnées » sans rien écrire sur les tableaux de variations donnés. Pourtant, cet élève traçait toujours des courbes en introduisant un nouvel extremum dans l’exercice 1b. Là encore on note une difficulté qui semble propre à la gestion du registre des nombre décimaux.

Rappelons que cet élève a tracé toujours des courbes qui ne représentaient pas une fonction dans l’exercice 1b.

Ces réponses nous montrent que même si les élèves sont capable d’envisager l’arbitraire laissé par le tableau de valeurs (ce qu’attestent souvent leurs réponses à l’exercice 1) ils ont du mal à concrétiser cela dans leur réponse à la question 2 à cause de difficulté liées au cadre numérique (représentation décimale et comparaison des décimaux). La créativité semble plus bridée dans le cadre numérique que dans le cadre graphique. Ceci est certainement lié à ces deux registres et aux activités de traitement associées : ainsi dans le registre numérique, on associe certainement nombre et calcul (un nombre apparaît souvent comme le résultat d’un calcul) alors que dans le registre graphique, la construction d’une courbe peut apparaître moins contrainte.

4. Réponses correctes

16 élèves (sur 30) arrivent à donner une réponse compatible avec le tableau de valeurs, tous choissent la valeur « 2,5 » comme abscisse dans l’intervalle [2 ; 3], sauf deux élèves : l’un (E2) choisit la valeur « 2,9 » et l’autre (E3) en choisit « 2,7 ».

Aucun élève n’introduit un nouvel extremum dans l’intervalle [-1 ; 2] pour la question a. Ils ont donc tous donné la réponse du type suivante pour la question a.

Pour l’image de « 2, 5 » ;

Pour la question b, la plupart d’entre eux changent ensemble l’abscisse et l’ordonnée dans l’intervalle [2 ; 3]. On voit ainsi l’utilisation des valeurs « 2,1 », « 2,2 », « 2,3 », « 2,4 », « 2,8 », ainsi que « 2,01 », « 2,25 », « 2,75 » comme abscisse ; et des valeurs « -0,5 », « 0,2 », « 0,5 », « 0,8 » et du même « -2 », « -3 », « -15 » comme ordonnée. Le choix des valeurs est correct sauf pour un élève (E3).

Nous pouvons distinguer deux types de réponses selon leur façon de compléter la partie du tableau entre -1 et 2 des abscisses ;

4a. Sans introduire de nouvelle variation dans l’intervalle [-1 ; 2]

8 élèves (E2, E3, E9, E12, E16, E19, E23, E30) continuent à indiquer que la fonction est croissante sur l’intervalle [-1 ; 2]. Deux (E16, E30) d’entre eux rajoutent des valeurs du tableau de valeurs qui n’apparaissent pas dans le tableau de variations demandé.

Voici la réponse de E12 pour la question b :

Rappelons que ces élèves utilisaient différentes stratégies pour tracer d’autres courbes dans l’exercice 1b ;

4b. Introduire une variation supplémentaire dans l’intervalle [-1 ; 2]

8 élèves (E8, E11, E15, E17, E18, E24, E27, E28) introduisent une nouvelle variation au moins dans l’un de deux tableaux de variations qu’ils ont complété.

Voici la réponse de E28 pour cette question :

Pour introduire une nouvelle variations, ils choissent plutôt les valeurs demi-entières (« -0,5 », « 0,5 » et « 1,5 ») comme abscisse (sauf une fois « 0,3 » et une fois « -0, 25 »).

La plupart de ces élèves ont tracé des courbes « libres » pour la question 1b, sauf E18 qui a tracé des courbes qui ne représentaient pas une fonction.