II.2.4 Troisième étape : retour en arrière

Comme nous l’avons vu, tous les élèves (sauf deux) ont spontanément tracé plusieurs courbes en réponse à l’exercice 1, alors que la moitié d’entre eux a rencontré des difficultés dans l’exercice 2. Ceux (E4, E5) qui n’ont pas pu arriver à tracer d’autres courbes dans l’exercice 1 n’ont pas fait de modification dans leur réponse.

Ainsi, comme dans la classe précédente, le retour en arrière prévu n’a pas pu jouer le rôle que nous avions initialement prévu.

Seulement, 4 élèves (E1, E6, E7, E15) ont fait une modification dans leur réponse à l’exercice 1. Rappelons que 3 (E1, E6, E7) d’entre eux n’ajoutent que des explications supplémentaires, sans faire de modification sur les courbes qu’ils ont tracées pendant la première étape. Ces trois élèves ne sont pas arrivés à répondre correctement à la question 2.

• E1 avait, à la question 1b tracé des courbes (à part la première) qui ne représentaient pas des fonctions avec l’explication suivante : « Oui, on peut par exemple tracer la courbe représentant la fonction f dans l’intervalle [-10 ; 5] ou [5 ; 15], etc. Ou simplement tracer la même courbe avec les mêmes coordonnées des points mais en faisant des zigs-zags. ». Pendant l’étape de retour, il a ajouté : « comme par exemple dans les intervalles [-3 ; -2] et [-2 ; -1] on ne sait pas si la courbe est une ligne droite entre les 2 points. ».

Rappelons que cet élève n’est pas arrivé à compléter le tableau de variations tel qu’il était donné dans l’exercice 2 et qu’il a construit à côté un autre tableau de variations correspondant à la solution la plus simple compatible avec le tableau de valeurs donné (fonction décroissante sur [-3 ; -1] et croissante sur [-1 ; 3]).

• E6 a d’abord donné l’explication : « La forme varie. Mais cette question est trop vague, on a une infinité de possibilité ; forme, points, je ne voix pas où vous voulez en venir. » et a tracé toujours des courbes ressemblantes à la courbe initiale dans l’exercice 1b. Pendant cette étape de retour, il a ajouté : « On peut toujours rajouter des points entre chaque point fixé mais on doit respecter les points donnés, entre eux l’ordre croissant ou décroissant de la fonction n’est pas limité. ».

Rappelons que cet élève n’a pas pu arriver à compléter le tableau de variations donné dans l’exercice 2, en disant : « Nous avons que certaines valeurs de x donc il faut respecter ces valeurs, mais entre ces différents x, il y a plusieurs valeurs, que je ne connais pas. De plus, entre -1 et 2 je ne peux pas savoir le sens de variation, de même entre 2 et 3 je ne peux pas deviner quel x représente ? ».

• E7 a d’abord donné l’explication : « On peut tracer d’autres courbes. En effet, une fonction f peut comporter un carré ; dans ce cas là, 2 valeurs de x sont possibles. De plus, la forme de la courbe, avec la, présence de même abscisse et de même ordonnée, la forme de la courbe peut changer (sic) » et a tracé des courbes « libres » qui sont à la limite de la représentation d’une fonction (une d’entre elles ne respecte pas l’intervalle de définition et deux autres « reviennent en arrière »). Pendant cette étape de retour, il a ajouté « N’importe quelle courbe est compatible avec ce tableau de valeurs, mais la fonction doit être définie par seulement une seule courbe. ».

Rappelons que cet élève n’a pas complété le tableau de variations donné dans l’exercice 2, en disant : « Je ne sais pas répondre à cette question car nous nous donnons que certaines valeurs de x ; de plus on ne nous donne pas le tracé de la courbe. La fonction peut être croissante de [-1 ; 1] et décroissante de [1 ; 2] ». (Ajoutons de plus que ces deux élèves (E6, E7) se trouvaient côte à côte pendant l’expérimentation !).

• E15 fait des modifications sur deux courbes qu’il avait tracées dans l’exercice 1b. Il modifie seulement les parties de ces courbes où il y avait une « retour en arrière », de façon à la rendre compatible avec la courbe d’une fonction.

Voici la modification qu’il a fait sur une courbe :

Cet élève a répondu correctement à l’exercice 2.

Ainsi sauf pour E15, qui profite de cette possibilité de revenir en arrière pour corriger de façon pertinente une erreur commise au début, sans toutefois que cela n’ait de lien direct avec la question 2, pour tous les élèves la question 2 n’a pas eu d’influence sur le traitement de la question 1, y compris pour les 3 élèves qui font un commentaire supplémentaire dans la mesure où celui-ci ne fait que renforcer leur première opinion.