Conclusion

Dans l’ensemble les élèves se sont bien sortis de l’exercice 1 et ils ont ainsi montré qu’ils étaient capables de gérer plutôt bien le rapport entre tableau de valeurs et courbe (même si certains ont tracé des courbes qui ne représentent pas une fonction).

Alors que dans l’exercice 2, la plupart ne sont pas arrivés à répondre correctement et ils ont ainsi montré des difficultés bien spécifiques aux tableaux de variations. Ceci n’est pas très troublant, dans la première classe, dans la mesure où ils sont en tout début d’apprentissage et où le tableau de variations reste encore un objet problématique que les élèves ont du mal à manier. Par contre, nous avons constaté aussi pendant la deuxième expérimentation où les élèves se trouvaient en fin d’enseignement, que le tableau de variations pose encore beaucoup de difficultés (la moitié seulement de la classe donne une réponse correcte). On peut avancer deux raisons à cet état de fait : d’une part, certains élèves ont été bloqués dans l’exercice 2 puisqu’ils n’avaient qu’un seul modèle de courbe correspondant à un seul tableau de variations dans l’exercice 1 (surtout ceux qui tracent toujours des courbes ressemblant à la courbe initiale) et que ce tableau de variations n’est pas compatible avec celui à compléter. Ils se sont ainsi trouvés incapables de gérer la contradiction et donc, ceci montre qu’ils n’arrivent pas à faire une conversion directe entre le tableau de valeurs et le tableau de variations et ils se sentent ainsi obliger de passer par le registre graphique (faute d’avoir une formule) comme un intermédiaire. Et d’autre part, ceci a dû être lié au registre numérique, au registre graphique et aux activités de traitement associés : ainsi dans le registre numérique, on associe certainement nombre et calcul (un nombre apparaît souvent comme le résultat d’un calcul) alors que dans le registre graphique, la construction d’une courbe peut apparaître moins contrainte.

Même si pour la plupart des enseignants le tableau de variations est un objet qui peut sembler parfaitement transparent pour les élèves (cf. chapitre B3), nous pensons, au vu de nos analyses, qu'un apprentissage spécifique pour le tableau de variations est nécessaire tant pour le côté syntaxique (apprentissage des codes) que pour le côté conversion en lien avec les objets des autres registres.

Au vu de nos expérimentations, il ressort que les élèves ont bien compris qu’un tableau de valeurs ne donne qu’une information partielle sur une fonction et qu’on ne sait rien pour les valeurs entre celles du tableau. Néanmoins, s’ils sont capables de tracer des courbes très différentes associées à un même tableau de valeurs (quitte à oublier les contraintes d’une fonction), ils ont beaucoup plus de difficultés à trouver des tableau de variations différents. Deux types de raisons peuvent être suggérées. D’une part, il semble bien que le tableau de variations ne jouit pas d’une grande autonomie, dans le sens où il est lié à une lecture dynamique de la courbe, ainsi certains élèves ne peuvent passer directement d’un tableau de valeurs à un tableau de variations sans passer par l’intermédiaire de la courbes. D’autre part, il se peut aussi que les deux objets soient trop proches d’un point de vue sémiotique pour que les élèves arrivent facilement à imaginer des variantes de tableaux de variations pour un tableau de valeurs donné. Il faut en effet introduire dans un registre très proche de nouvelles valeurs qui n’apparaissent pas dans le tableau de valeurs initial. Il ressort donc de cette analyse que le tableau de variations reste un outil avec peu d’autonomie, c’est avant tout un moyen de codage de données issues d’une lecture de la courbe. Le traitement dans ce registre de représentation reste problématique pour les élèves (voir les erreurs sur les doubles flèches ou les valeurs mal ordonnées). D’autre part si la conversion à partir de ou vers le registre graphique ne semble pas poser de problème, la conversion à partir du registre des tableaux de valeurs reste problématique, ce qui légitime les propositions de ces activités.