Analyse praxéologique de tous les types de tâches relatifs à l’introduction de la notion de fonctions.

Pour cette étude, nous avons utilisé les notations suivantes.

T_nom : les types de tâche,

t_nom : les techniques d’étude de cette tâche

k_nom : les éléments technologico- théoriques relatifs à cette tâche

• T_imA : Calculer l’image d’une valeur de x pour une fonction connue par son expression algébrique.

t_imA  : remplacer x par une valeur dans l’expression algébrique et calculer.

k_imA : substitution de ‘x’ par une valeurs et fondement de l’algèbre.

Constat : Cette tâche est connue depuis le collège.

• T_anA : Trouver par le calcul les antécédents d’une valeur (a) pour une fonction connue par son expression algébrique.

t_anA : résoudre l’équation ‘f(x) = a’ et les sous tâches algébriques.

k_anA : définition de ce qu’est un antécédent.

Constat : Cette tâche est connue depuis le collège mais on n’utilise pas le mot ‘antécédent’ en collège.

• T_imG : Trouver graphiquement l’image d’une valeur (a) pour une fonction connue par sa représentation graphique.

t_imG : tracer une parallèle à l’axe des ordonnées passant par le point (a ; 0), noter l’intersection avec la courbe puis lire la valeur de la seule ordonnée correspondante.

k_imG : connaissances sur la représentation dans une repère d’une fonction et définition de ce qu’est une image.

Constat : cette tâche est connue depuis le collège

• T_anG : Trouver graphiquementles antécédents d’une valeur (a) pour une fonction connue par sa représentation graphique.

t_anG  : tracer une parallèle à l’axe des abscisses passant par (0 ; a). Noter les intersections éventuelles avec la courbe puis lire les abscisses correspondantes.

k_anG : connaissances sur la représentation dans une repère d’une fonction et définition de ce qu’est un antécédent.

Constat : cette tâche est connue depuis le collège mais on n’utilise pas le mot « antécédent » en collège. On peut aussi dire que ces deux tâches (T_imG et T_anG) sont beaucoup plus proches que les deux tâches précédentes (T_imA et T_anA) en terme de traitement.

• T_A-G  : Tracer la représentation graphique d’une fonction affine connaissant son expression algébrique.

t_A-G1 : tracer deux points puis les joindre par une droite.

t_A-G2 : tracer un point et utiliser la pente.

t_A-G3 : utiliser l’ordonné à l’origine et la pente.

k_A-G1 : la courbe représentative d’une fonction affine est une droite et deux points déterminent une et une seule droite.

k_A-G2 : la courbe représentative d’une fonction affine est une droite et un point et la pente déterminent une et une seule droite.

k_A-G3 : définition de l’ordonnée à l’origine et de la pente.

Constats : Cette tâche est connue depuis le collège. Mais on utilise plutôt la technique t_A-G1.

Par ailleurs ce type de tâche entre dans le type plus général « tracer la courbe représentative d’une fonction », mais en classe de seconde seules les fonctions affines, puis les fonctions du seconde degré sont au programme. Le cas particulier des fonctions affines, par son lien avec la géométrie, justifie que l’on en fasse un cas à part, d’autant que les techniques sont bien spécifiques.

• T_G-A : Trouver l’expression algébrique d’une fonction affine connaissant sa représentation graphique.

t_G-A1 : choisir deux points dont les coordonnées sont connues ou lisibles sur la courbe puis construire le système 2x2 à partir de la relation y=ax+b, ensuite le résoudre.

t_G-A2 : choisir deux points et déterminer le coefficient ‘a’ en utilisant la proportionnalité puis déterminer l’ordonnée à l’origine ‘b’ en construisant une équation.

t_G-A3 : choisir un point, lire la pente sur la représentation puis construire l’équation et la résoudre.

t_G-A4 : lire l’ordonnée à l’origine et la pente sur le graphique donner directement l’expression algébrique de la fonction.

k_G-A1 : interprétation graphique et règles de résolution des systèmes 2x2.

k_G-A2 : interprétation graphique, les accroissements des valeurs de f(x) sont proportionnels aux accroissement de la variable x (le coefficient de proportionnalité des accroissements est le nombre a ) et règles de systèmes 2x2.

k_G-A3 : interprétation graphique, définition de la pente et règles de résolution des systèmes 2x2.

k_G-A4 : interprétation graphique et les définitions de ce que sont l’ordonnée à l’origine et la pente.

Constat : Cette tâche est connue depuis le collège. On utilise plutôt la technique t₆₁ dans les manuels de troisième en collège.

• T_intA : Trouver par le calcul l’image réciproque d’un intervalle pour une fonction connue par son expression algébrique. (exemple : Pour f(x) = 2x-3, trouver les nombres x tel que f(x)≥-4)

t_intA : poser puis résoudre l’inéquation.

k_intA : les règles de la résolution d’une inéquation.

• T_intG : Trouver graphiquement l’image réciproque d’un intervalle pour une fonction connue par sa représentation graphique. (exemple : Pour f(x) = 2x-3, trouver graphiquement les nombres x tel que f(x)≥a)

t_intG : tracer une parallèle à l’axe des abscisses passant par les points f(x) = a. Noter les intersections éventuelles avec la courbe puis construire les intervalles avec ces points intersections ensuite choisir le(les) bon(s) intervalle(s).

k_intG : connaissance sur la représentation dans une repère d’une fonction et sur l’inégalité.

• T_Gcrb : Reconnaître si une courbe est la représentation ou non d’une fonction.

t_Gcrb : une courbe représente une fonction si et seulement si, toute parallèle à l’axe des ordonnées coupe la courbe en un seul point.

cas particulier : une droite non parallèle à l’axe des ordonnées est la représentation graphique d’une fonction affine.

k_Gcrb : la définition de ce qu’est une fonction : un élément de l’ensemble de définition a une image et une seule.

• T_imL : Trouver par le calcul, l’image d’une valeur pour une fonction définie en langue naturelle.

t_imL1 : convertir d’abord en registre algébrique puis traiter comme dans T_imA

t_imL2 : calculer directement dans le registre arithmétique.

k_imL1 : conversion de la langue naturelle en registre algébrique.

k_imL2 : règles du calcul l’arithmétique.

• T_anL : Trouver par le calcul, les antécédents d’une valeur pour une fonction définie en langue naturelle.

t_anL1 : convertir d’abord en registre algébrique puis traiter comme dans T_anA

t_anL2 : calculer directement dans le registre arithmétique

k_anL1 : conversion de la langue naturelle en registre algébrique

k_anL2 : règles du calcul arithmétique

Constat : On peut dire que ces 4 tâches « T_imA,, T_imG, T_anG, T_imL » sont très proches l’une à l’autre. Parce que ce sont des calculs directes. Par contre les tâches « T_anAet T_anL » sont des calculs indirectes.

• T_tvlA : Compléter (ou construire) un tableau de valeurs pour une fonction donnée par son expression algébrique.

t_tvlA : utiliser les techniques t_imA et t_anA

• T_tvlG : Compléter (ou construire) un tableau de valeurs pour une fonction donnée par son représentation graphique.

t_tvlG : utiliser les techniques t_imG et t_anG

• T_Gvie : Représenter graphiquement une fonction donnée par un tableau de valeurs dans un contexte de la vie concrète.

t_Gtvl : tracer les points de la courbe correspondant aux valeurs du tableau, joindre ces points en utilisant le contexte « concret » de la fonction 

k_Gtvl : règles de représentation graphique des fonctions

• T_{E A} : Déterminer l’ensemble de définition d’une fonction définie par son expression algébrique.

Cette tâche se décline en seconde selon deux types de fonctions qui conduisent chacun à une technique spécifique.

t_EA :

- si la formule possède un dénominateur où figure la variable x ;

exclure les valeurs de x qui annulent le dénominateurs

- si la formule possède une racine carrée sous laquelle figure la variable x ;

exclure les valeurs de x qui rendrent l’expression sous la racine strictement négative.

k_EA :

- définition de la division (on ne peut pas diviser par 0)

- définition de la racine carrée ( on ne peut pas calculer la racine carrée d’un nombre strictement négatif)

• T_tvl-G  : Donner une ou plusieurs représentation graphique correspondant à un tableau de valeurs donné.

t_tvl-G : placer les poins dans un repère puis les lier comme on veut en respectant la définition d’une fonction.

k_tvl-G : règles de représentation graphique d’une fonction.

• T_L-A: Donner l’expression algébrique pour une fonction définie en langue naturelle.

k_L-A : conversion de la langue naturelle en registre algébrique

• T_inG : Résoudre graphiquement équation et inéquation du type f(x) = g(x) ) et f(x)≥g(x) pour les fonctions définies par ses représentations graphiques.

t_inG : regarder t_imG ou t_anG

k_inG : regarder k_imG et k_anG.

• T_A-G-tvl : associer chaque formule à un tableau de valeurs et à un représentation graphique (on donne, par exemple, 4 formules, 4 tableaux de valeurs et 4 représentations graphiques).

Il y a plusieurs sous tâches apparaissent dans cette tâche :

• T_tvrG : Construire le tableau de variations d’une fonction donnée par sa représentation graphique.

t_tvrG : lire graphiquement les intervalles sur lesquels la fonction est monotone, construire à partir des valeurs de ces intervalles le tableau de variations en précisant avec les flèches le sens de variations de la fonction.

k_tvrG : définition de ce qu’est un tableau de variations et des règles de construction d’un tel tableau. Savoir repérer graphiquement la monotonie d’une fonction sur un intervalle.

• T_vrG  : Décrire, dans le registre de la langue naturelle, les variations d’une fonction donnée par sa représentation graphique.

t_vrG : trouver les intervalles où la fonction est monotone et dire le sens de variations de la fonction

k_vrG : définition de la monotonie d’une fonction.

Constat : Cette tâche est très proche de T_tvrG, la seule différence réside dans le « registre » dans lequel la réponse est fournie.

• T_tvrA : Construire le tableau de variations d’une fonctions définie par son expression algébrique. (ou étudier le sens de variation d’une fonction définie par son expression algébrique)

t_tvrA : trouver d’abord les intervalles sur lesquelles la fonction est monotone, utiliser les valeurs de ces intervalles et construire le tableau de variations.

k_tvrA : définition de ce qu’est un tableau de variations et des règles de construction d’un tel tableau.

Il y a une sous-tâche qui apparaît ici : la détermination des intervalles où la fonction est monotone.

• T_vrA : Montrer qu’une fonction est croissante (ou décroissante) sur un intervalle E définie par son expression algébrique.

tvrA1 : considérer deux éléments quelconques a et b de l’intervalle E tels que « a < b », prouver « f(a) ≤ f(b) ». (Inversement pour la décroissant)

t_vrA2 : considérer deux éléments quelconques a et b de l’intervalle E tels que « a – b >0 », prouver « f(a) – f(b) ≥ 0 » (inversement pour la décroissante).

k_vrA1: définition de ce qui sont la croissante et la décroissante et les règles de calcul sur les inégalités.

k_vrA2 : définition de ce qui sont la croissante et la décroissante et les règles du produit des signes.

• T_Gtvr : Donner une ou plusieurs représentations graphiques correspondant à un tableau de variations proposé.

t_Gtvr : placer les points (qui apparaissent dans le tableau de variations) dans un repère puis les relier en respectant le sens de variations de la fonction.

k_Gtvr : règles de représentation graphique d’une fonction.

• T_tvl-tvr : Donner deux (ou plusieurs) tableaux de variations distincts correspondant à un tableau de valeurs proposé.

t_tvl-tvr : compléter le tableau en signifiant le sens de variation de la fonction et en intercalant éventuellement de nouvelles valeurs.(Pour construire deux tableaux distincts il est indispensable d’intercaler de telle valeurs de façon à modifier la monotonie sur au moins un intervalle).

k_tvl-tvr : définition de ce qu’est un tableau de variations et des règles de construction d’un tel tableau.

• T_tvr-tvl : Donner deux (ou plusieurs) tableaux de valeurs distincts correspondant à un tableau de variations proposé.

t_tvr-tvl : repérer les valeurs données dans le tableau de variations, ceci serait suffisant pour construire un seul tableau de valeurs, mais l’exigence d’en donner au moins deux distincts oblige à « intervenir » des valeurs pour des points intermédiaires en respectant les contraintes de variation de la fonction.

k_tvr-tvl : définition de la croissance et de la décroissance et rapport avec les valeurs de la fonction.

• T_vrR : trouver le sens de variation d’une fonction g construite à partir d’une fonction f dont on connaît déjà le sens de variation (par exemple g(x) = f(x) + 3 ou g(x) = (f(x))² )

t_vrR : relier les variations de g à celles de f. il s’agit le plus souvent de revenir à la définition de la croissance et de la décroissance.

k_vrR : calcul algébrique et règle de conversion par inégalité.

• T_tvrR : Donner le tableau de variation d’une fonction g construite à partir d’une fonction f dont on connaît le tableau de variation.

ttvrR : on se ramène encore une fois à la tâche T_vrR

k_tvrR : lien entre sens de variation et tableau de variations.

• T_intG : Donner un encadrement de f(x) « quand x appartient à différents intervalles comme [a ; b]» pour une fonction définie par sa représentation graphique.

t_intG : tracer deux parallèles à l’axe des ordonnées passant les points (a ; 0) et (b ; 0), noter les intersections avec la courbe puis trouver les extremums dans cet intervalle puis construire l’encadrement avec ces extremums.

k_intG : connaissance sur la représentation graphique d’une fonction et sur les extremums.

• T_int-tvr : Donner un encadrement de f(x) « quand x appartient à différents intervalles » pour une fonction définie par son tableau de variation.

t_int-tvr : situer l’intervalle proposé par rapport au découpage du tableau de variations, puis lire l’encadrement de f(x) à partir du tableau.

k_int-tvr :connaissance sur le tableau de variations d’une fonction.

• T_extA1 : Montrer qu’une fonction f atteint son maximum (ou son minimum) en « c », définie sur [a ; b] par son expression algébrique.

t_extA1 : démontrer la fonction est croissante sur [a ; c] et décroissante sur [c ; b] pour le maximum et à l’inversement pour le minimum.

t_extA2 : calculer f(c) - f(x) puis démontrer que cette expression est toujours positive pour le maximum ou inversement le minimum.

k_extA : définition de ce qui sont le maximum et le minimum.

• T_extA2 : Trouver les extremums d’une fonction définie sur [a ; b] par son expression algébrique.

t_extA2 :Pour cette tâche, on utilise les fonctions de référence « carré, inverse,… » qui sont bien connue par ses représentations graphiques ; conclure l’extremum de la fonction en utilisant la résultat du cours à propos de la sens de la variation pour ces fonctions de référence.

k_extA2 : lien entre le sens de variation et les extremums.

Constat : Dans cette tâche, quand on n’utilise pas de la fonction de référence comme « fonction carré, fonction inverse,… », la détermination de l’extremum de la fonction est demandée dans les exercices plutôt après l’étude du sens de variation de la fonction.

• T_ext-tvr : Trouver les extremums d’une fonction définie par son tableau de variations.

t_ext-tvr : c’est une tâche immédiate à partir de la lecture du tableau de variation. Il s’agit de repérer la plus grande et la plus petite valeur de f (x) pour les valeurs de x correspondant aux bornes des intervalles de changement de monotonie.

k_ext-tvr : lecture du tableau de variations et définition de ce qu’est le maximum et le minimum

• T_extG : Trouver les extremums d’une fonction définie par son représentation graphique.

t_extG : repérer sur le graphique les points correspondant à la plus petite et à la plus grande ordonnée sur la courbe.

k_extG : lecture d’un graphique et définition de ce qu’est le maximum et le minimum.

• T_extR : Trouver les extremums d’une fonction g construite à partir d’une fonction f dont on connaît déjà les extremums.

textR : il s’agit de décrire les variations de g. On se ramène donc à la tâche T_vrR.

k_extR : lien entre sens de variation et tableau de variations.

Cette tâche est très proche de T_extA2 le seul différence réside la définition de la tâche : on donne dans la tâche T_extA2 une seule fonction dans laquelle il y a de fonctions de référence (comme fonction carré, fonction inverse,…), par contre dans la tâche T_extR, on donne deux fonctions séparément.

• T_peiG : Reconnaître si une courbe est celle d’une fonction paire (ou impaire).

t_peiG :si la courbe admet l’axe des ordonnées pour axe de symétrie alors elle est celle d’une fonction paire ; si elle admet l’origine du repère comme centre de symétrie, alors elle est celle d’une fonction impaire.

k_peiG :définition de ce qui est une paire et une impaire et leurs conséquences graphiques.

• T_picG: Compléter la représentation graphique d’une fonction sachant qu’elle est paire (ou impaire).

t_picG : compléter la courbe en admettant l’axe des ordonnées comme axe de symétrie pour la fonction paire ; en admettant l’origine du repère comme centre de symétrie pour la fonction impaire.

k_picG : définition de ce qui est une paire et une impaire et leurs conséquences graphiques.

• T_peiA : Trouver si une fonction est paire (ou impaire) donnée par son expression algébrique sur E.

t_peiA :regarder si E est symétrique par rapport à 0 et f(-x) = f(x), dire la fonction est paire ; si f(-x) = -f(x), dire la fonction est impaire.

k_peiA : définition de ce qui est une paire et une impaire

• T_tvlcP : Compléter un tableau de valeur d’une fonction dans le cas où elle est paire (ou impaire)

t_tvlcP : compléter en utilisant les mêmes images pour les valeurs opposés si elle est paire ; compléter en utilisant les images opposés pour les valeurs opposés si elle est impaire.

k_tvlcP : :définition de ce qui est une paire et une impaire et leurs conséquences dans le tableau de valeurs.

• T_afTvl : compléter un tableau de valeurs d’une fonction sachant qu’elle est affine, sans déterminer l’expression de cette fonction.

t_afTvl : utiliser la proportionnalité entre l’accroissement de l’image et l’accroissement de la variable

k_afTvl : définition de ce qu’est une fonction affine et les règles du calcul algébrique.

T _afTvl : Reconnaître un tableau de valeurs donné s’il est bien celle d’une fonction affine.

t_afTvl : contrôler la proportionnalité entre l’accroissement de l’image et l’accroissement de la variable pour toutes les valeurs apparues dans le tableau, dire si toutes sont égales il est bien celle d’une fonction affine.

k_afTvl : définition de ce qu’est une fonction affine et les règles du calcul algébrique.