Discussion sur la sixième courbe (groupe 6) :

E (s) : O la la !

P : Une dernière courbe, plutôt deux courbes !

P : Bon peu import qu’il a fait !

P : la courbe noir elle est bonne, la courbe bleue et

E : Qui est mauvaise !

P : Et la courbe rouge

P : Alors si on compare ces trois courbes, on peut remarquer quand même un point (…) enfin, comment…

E : Des variations ?

P : Des variations je crois pas, alors qu’est ce qui est commun à ces courbes ?

E : Y a certains points qui sont communes !

P : Les points, pas tous mais !

E : Monsieur, la courbe rouge est une courbe blague, ça ?

P : C’est une courbe ?

E : Blague !

P : Dans quel sens tu dis ça ?

E : C’est une courbe blague ça, parce que c’est pas possible ça !

P : Vas-y explique ce que tu veux dire !

E : Une farce ! C’est pas possible !

E(s) : (Rire) C’est une courbe blague (ils répètent !)

E : Elles sont nulles ces courbes là (un autre élève)

P : On observe les courbes simplement on essaie pas interpréter les intentions de ce qu’on a fait !

P : Bon, on a dit que ces trois courbes sont passées à des points communs. Si on regarde comment elles varient, qu’est qu’on peut dire ?

P : On vas comparer le noir et le bleue : les variations sont pratiquement les mêmes dans la mesure où toutes les deux commencent par descendre, monter, descendre, monter et descendre.

P : Mais les variations qui correspondent à la courbe rouge sont différentes. Ici elle commence par descendre mais pas sur le même intervalle et les autres …Donc ici les variations sont vraiment différentes et également !

…

P : Qu’est-ce que tu veux dire Malek ?

Mk : je veux dire qu’il y a des certains libertés pour faire ça il y a des points mais c’est pas imposer de faire ça, de monter ou de descendre, rien ne nous empêche de faire ça !!!

P : Oui ! Voilà !

P : Donc, ce qu’on peut noter c’est que dans toutes les messages que vous avez fabriqué, eh bien chaque fois pratiquement vous avez indiqué des points en effet, sous une forme ou sous un autre soit explicitement par les points ou soit par les tableaux de valeurs

P : Ce qu’on constate pratiquement sur ce dernier courbe ici, c’est que finalement l’indication des points ne suffit pas pour reproduire une courbe conforme à celle qui a été donnée. Ça c’est une première remarque ! Donc il faut indiquer la variation d’une fonction.

E1 : En effet on peut tracer à la règle pour qu’elle conforme !

E : Mais non (un autre) (on entend aussi un tableau de variation !!!)

E1 : Ni de tracer à la main

P : Pourquoi tu dis ça ?

E1 : Si on trace à la règle ça fait en gros deux points, si on trace à la main ben …

P : Mais au départ elle n’était pas construit à la règle !

E1 : Ouais… bon…

P : Donc si tu veux reproduire une courbe conforme à celle de départ, elle n’était pas tracé à la règle, donc ça ne marcherait pas!

P : Et puis un autre remarque ce que si je reprend entre deux points par exemple [-0.5 ; 1.5] eh bien ces deux courbe sont différentes (bleue et rouge), pourtant elles varient la même sens

E : Non monsieur …

P : Attend j’ai bien dit entre … ces deux courbes sont différentes, c’est à dire que entre ces deux points je peut tracer différentes courbes qui vont monter en effet ! Donc on a pas uniquement une seule courbe qui va correspondre à cette variation là !

P : Bon ! donc finalement ce que l’on peut dire c’est que les tableaux de valeurs ne suffisent pas et que y a une autre information qu’il faut donner ce sont les variations des fonctions. Donc on va définir maintenant les variations d’une fonction.

P : Donc on va définir c’est ce qui est une fonction qui est croissante qui est correspond à une courbe qui monte sur un intervalle et une fonction qui est décroissante c’est à dire une courbe qui descend sur un intervalle !

P : Bon vous allez reprendre votre caille …et vous allez garder sous les yeux l’énoncé de l’activité 1 (Il l’a mis la courbe de l’activité 1 sur le tableau noir !) Alors en même temps on va revenir sur la notation qu’on a introduite l’autre jour à propos de la fonction.

P : Alors je vais m’intéresser à la courbe sur l’intervalle [-0.5 ; 1.5] (il montre cette partie de la courbe) et on va regarder quelque point particulier. Alors, -0.5, le point d’abscisse 1 et euh… on va prendre le plus beau… 1.5, on va prendre 0.5 aussi

Je vais considérer maintenant les ordonnées de ces points qui sont sur la courbe :

Quelle est l’ordonnée du point qui a pour abscisse -0.5 ? Alors c’est -0.5 hé !

Quelle est l’ordonnée du point 0.5 ? Il est voisin de 0.5

L’ordonné de point qui a pour abscisse 1 c’est 1

E : Ce n’est pas tout à fait 1

E : 1 virgule quelque chose

P : On va dire 1.25 et pour 1.5 est 1.5. Bon donc ici j’ai les abscisses ici j’ai les ordonnées correspondantes.

-0.5<0.5< 1<1.5

-0.5<0.5<1.25<1.5

P : Les abscisses sont rangées dans l’ordre croissant et si je regarde maintenant les ordonnées correspondantes je peux dire qu’elles sont rangées aussi dans l’ordre croissant. Donc c'est-à-dire que sur l’intervalle [-0.5 ; 1.5] eh bien les abscisses et les ordonnées sont rangées dans la même ordre. Donc ça c’est la première remarque !

P : Alors maintenant je me place sur l’intervalle [1.5 ; 4] On va faire le même travail on va prendre quelque point : 1.5, 2.5, 3 et 4

E : Et 2 monsieur en gros ?

P : En gros euh Je prends des exemples pour le moment hé ! Alors quelle est l’image de 1.5 ? c’est 1.5 et l’image de 2.5 c’est 1, l’image de 3 c’est 0.75 et l’image de 4 c’est 0.5 voilà !

P : Alors pour cet intervalle j’ai rangé les abscisses dans l’ordre croissant et les ordonnées aussi elles sont rangées dans l’ordre décroissant !

1.5<2.5<3<4

1.5>1>0.75>0.5

P : Donc ceci ça va nous conduire à la définition ! Lorsque la courbe monte les abscisses et les ordonnées des points correspondances sont rangées dans le même ordre. Lorsque, on dirai la fonction est décroissante, la courbe descend les abscisses et les ordonnées des points sont rangées dans l’ordre contraire. Bon (il a effacé ce qu’il a écris sur le tableau noir) Donc ça va nous conduire la définition que vous allez noter.

2. Sens de variation d’une fonction

P : Donc je dicte les définitions :

f est une fonction. D son ensemble de définition. Dire que la fonction f est croissante sur I, intervalle de D signifie que pour tout réel a ,bєI, si a ≤ b alors f(a) ≤ f(b).

Les nombres f(a) et f(b) sont dans la même ordre que a et b.

On dit que f conserve l’ordre

P : On va illustrer cette définition par un dessin (…)

P : j’ai représenté I en rouge j’ai choisi deux nombres a et b quelconque sur I de sort que le a soit plus petit que b. J’ai rapporté sur la courbe les points que l’abscisse a et son ordonnée c’est f(a) le point que l’abscisse b et c’est l’ordonnée f(b). Allez vous refaites le dessin !

P : Allez je dicte la deuxième définition :

Dire que f est décroissante sur I, intervalle de D signifie que pour tout réel a et b de I, si a ≤ b alors f(a) ≥ f(b).

Les nombres f(a) et f(b) sont rangées dans l’ordre contraire de celui de a et b.

On dit la fonction f change l’ordre.

P : Bon (après avoir parlé avec Jean-Luc !) vous allez laisser la place pour illustrer. On va faire le dessin jeudi hé ! Je poursuis hé. Bon alors pour résumer pour schématiser la variation d’une fonction on va utiliser ce q’on appelle un tableau de variations. Donc on va construire la courbe de l’activité 1 et on va mettre en place le tableau de variation de cette fonction. Vous pouvez regarder sur la feuille y a courbe et on va construire le tableau de variations. Vous notez simplement tableau de variations

Tableau de variations

P : Alors, ce tableau comporte deux lignes : Dans le premier ligne je veux mettre les valeurs de x, dans le seconde ligne les valeurs de f(x) (il construit en même temps le tableau de variations). Dans la première ligne, je vais indiquer les valeurs de x pour lesquels il y a un changement dans la variation de la fonction. Je commence d’abord par indiquer l’ensemble de définition : pour la fonction f c’est l’intervalle [-4 ; 4] que je mets en évidence ainsi. Ensuite je regarde les valeurs de x pour lesquels il y a un changement de variation. Donc on voit que la courbe descend jusqu’au point d’abscisse -2.5 donc je marque « -2.5 ». Ensuite la courbe monte jusqu’au point d’abscisse -1 et elle descend jusqu’au point d’abscisse -0.5, elle monte jusqu’au point d’abscisse 1.5 et enfin elle descend jusqu’à un point d’abscisse 4.

P : Ensuite les variations de la fonction par des flèches : lorsque la courbe monte eh bien je représente par une flèche qui monte, lorsque la courbe descend je représente par une flèche qui descend … et ensuite on va mettre aux extrémités des flèches les valeurs de f(x) qui correspondent … Voilà le tableau de variation de la fonction f :

P : Alors attention j’ai dessiné ici des flèches cela ne signifie pas que sur l’intervalle [-4 ; -2.5] la courbe est un segment de droite, ça signifie simplement puisque le flèche descend que la courbe descend voilà !

P : Vous voyez que ce tableau il me fournit comme information des variations de la fonction et d’autre part j’ai des points de la courbe. Donc déjà ces deux informations dans ce tableau hé ! Par contre si je prends par exemple l’intervalle [-0.5 ; 1.5] je sais que la fonction est croissante dans cet intervalle je sais que la courbe va passer les points (-0.5 ; -0.5) et (1.5 ; 1.5) mais par contre j’en ai aucune information sur les points intermédiaires si ce n’est que les abscisses et les ordonnées de ces points sont rangées dans les mêmes ordres !

P : Bon on va… (il parle avec l’observateur) il nous reste que cinq minutes (…) On va faire pour terminer un exercice on va reprendre l’activité 1bis sur laquelle chacun a travaillé (il distribue leurs réponses pour l’activité 1bis)

P : (Il a mis un transparent sur lequel il y a trois courbes à partir de l’activité 1bis) Bon vous vous rappelez de l’activité 1bis on avais placé trois points K, L et M. Et on vous a demandé de tracer d’autres courbes passant par ces trois points. Alors ce que je vous demande de faire maintenant vous voyez ce qui est sur le tableau noir il y a trois courbes (vert, rouge, noir) c’est de dessiner le tableau de variations qui correspond à chacun de ces courbes.

Les élèves commencent à travailler et la séance est finie sans faire les corrections.