Mise en commun

Quand les élèves ont terminé de répondre à cette activité, le professeur a commencé, sans ramasser leurs réponses, avec le commentaire suivant :

« Alors vous écoutez bien. Vous avez sous les yeux vos documents. Donc, on va examiner certaines conditions que vous avez reproduites sur les transparents. Donc j’aimerais que vous disiez ce que vous pensez à ce que je vous montre. Il ne faut pas me dire ben ça c’est pas ce que j’ai fait et maintenant détachez-vous un peu de ce que vous avez fait tout à l’heure et regardez à ce qui est proposé là. Si vous avez des choses à dire, eh bien levez la main et dites le. C’est bon ? Est-ce qu’il y a des questions avant par rapport à ce que vous avez fait, il y a des questions qui vous tourmentent ? Non! Ça va ? Bon alors… »

Le professeur a ainsi mis la première courbe tracée par un élève, sur le rétroprojecteur pour montrer aux élèves :

P : Alors j’ai obtenu cette courbe. Vous avez la question et le tableau de valeurs sous les yeux. Et donc, est-ce que vous avez des choses à dire par rapport à cette production ? Est-ce que ça ne correspond pas à ce que vous avez fait ? Est-ce que vous l’accepteriez comme courbe possible ?

Vas-y E2 ?

E2 : Ca correspond bien à l’énoncé puisque les valeurs données sont bien euh… positionnées et la courbe elle passe par là.

P : Tu peux venir nous montrer là. Allez !

E2 : (Elle se trouve devant le tableau noir et elle montre sur la courbe). Par exemple, la courbe passe par tous les points qui se trouvent dans le tableau de valeurs (elle montre les points du tableau sur la courbe tracée).

P : D’accord ! donc, on doit bien mettre en évidence les points qui correspondent aux valeurs du tableau. Donc, ça c’est une remarque qu’elle passe bien par tous les points. Est-ce qu’il y a autre chose à dire ? Parce que, la courbe, elle n’est pas définie uniquement par ces points qui sont marqués par des croix. Vous avez des choses à dire ?

(Il y a des bruits mais aucun élève ne répond à cette question).

P : Non ? Est-ce que tout le monde accepte cette courbe comme courbe possible ? Parce que tout le monde ne l’a pas donnée. E15 vas-y !

E15 : Non, chaque abscisse n’a qu’une image.

P : Tu dis que chaque abscisse n’a qu’une image. Pourquoi tu dis donc que c’est non ?

(E15 n’arrive pas répondre à cette question !).

P : Quelqu'un peut l’aider à ce qu’il est en train de dire ? E25 ?

E25 : C’est la définition d’une fonction que chaque x n’a qu’une seule image.

P : Chaque x ne peut pas avoir plusieurs images. Alors comment en rendre compte là ?

E25 : Ben chaque point de la courbe … y a pas de ligne droite (Elle montre par un geste une droite verticale) et y a pas de retour en arrière.

P : D’accord ! C’est ça que vous voulez dire ? Vous êtes d’accord avec ça ? On accepte cette courbe ? Bon, alors :

Le professeur a ensuite mis une deuxième courbe tracée par un élève, sur le rétroprojecteur :

P : Est-ce qu’on accepte celle-ci ?

(La plupart des élèves donnent tout de suite la réponse suivante) : « Non, parce qu’il y a des retours en arrière ».

P : Il y a des retours en arrière. Est-ce que tout le monde dit que ça ne marche pas ? On n’a pas droit de l’accepter ? Pourtant la courbe passe bien par les points du tableau là !

(Aucun élève ne fait un commentaire sur ce point-là)

P : Donc, ça fait un défaut pour la définition qu’on vient de dire. C'est-à-dire que normalement pour une valeur donnée de x, on va avoir une seule valeur possible pour l’image appelée f(x).

Le professeur a enfin mis une dernière courbe, sur le rétroprojecteur :

P : J’en propose une autre qui est en peu différente. Alors, elle est vraiment différente celle-ci. Est-ce qu’on l’accepte ? 

(Il y a des bruits mais aucun élève ne prend la parole pour répondre à cette question)

P : Pourtant, si je regarde par exemple ces deux là (Elle a remis la première courbe à côté de celle-ci) Alors, que est-ce qu’elles ont en commun ? Vas-y E15 ?

E15 : Les deux courbes, elles passent par tous les points.

P : C'est-à-dire ?

E15 : Toutes les images.

P : Toutes les images ! C’est ça là l’idée ?

E ? : Tous les points qui sont donnés par le tableau de valeurs.

P : Tous les points qui sont donnés par le tableau de valeurs. Oui, mais en dehors de ça, elles sont quand même différentes ces deux courbes, non ?

E6 : Leurs sens de variations sont différents.

P : Alors, E6 elle est en train de parler de quoi ?

(Les élèves commencent ensemble à rire)

P : Non mais, elle est en train de parler du « sens de variation ». Alors pourquoi on a besoin de parler du sens de variation pour comparer ces deux courbes ? E23 ? C’est quoi le sens de variation ?

E23 : C’est euh (…) Quand la courbe monte et descend entre deux points si l’image de x augmente ou euh...

P : Bon alors, est-ce que celle-ci fait la différence entre les deux ? Alors essaie de m’expliquer E28 !

E28 : (il est devant le tableau noir). Entre ce point et ce point (il montre les deux premiers points du tableau) la courbe (n°3), elle est décroissante puis croissante, mais celle-là (n°1) elle est d’abord croissante puis décroissante.

P : Oui, est-ce que ça (…), dans les tracés on est autorisé à tracer comme ça ? Est-ce qu’on a le droit de descendre et de monter ou de monter et descendre après ?

(La plupart des élèves disent qu’on a le droit !)

E15 : Ben oui, on a le droit, parce que dans le tableau de valeurs, le sens de variation il n’est pas précisé.

P : Dans le tableau de valeurs, le sens de variation, il n’est pas précisé. Qui n’est pas d’accord avec ça ? Donc, tout le monde est d’accord. Oui E16?

E16 : On parle de la premier fiche, non ? Parce que sur la première fiche on n’a pas précisé le sens de variation?

P : On parle de la premier fiche. Oui, tu as tout à fait raison. On est toujours sur la première fiche quand on vous avait demandé des tracés et sur la première fiche il n’est pas précisé. Alors donc, si tu dis ça […] sur la deuxième ?

E16 : Parce que le tableau de variations est changé un peu sur la deuxième.

P : Comment il est changé ?

E16 : J’sais pas -3 et …(y a des bruits et on ne comprend pas à ce q’il a dit).

P : Alors, on va parler de la deuxième maintenant. Donc, tous celles qui étaient proposées ici sauf celle-là où il y a des retours en arrière, on a toujours à faire à des fonctions qui peuvent convenir. Alors, au niveau du tableau de variations :

P : Qu’est-ce qu’on vous a demandé de faire, en effet, dans cette deuxième fiche? E17 ?

E17 : Le sens de variation du tableau.

P : Le sens de variation du tableau ! Le tableau, il croit, il décroît ?

E(s) : Rire

E(S) : Par rapport aux valeurs indiquées dans le tableau.

P : Alors, avec les valeurs indiquées dans le tableau. Donc on a demandé de remplir un tableau de variations. Et j’ai vu donc… Certains ont rempli plusieurs tableaux, d’autres en ont rempli un et on dit : je ne peux pas en faire plus j’ai pas assez d’indication ! Donc, je vous montre quelques propositions qui ont été données.

Première proposition (n°1) :

P : Alors j’ai celle-ci. On a un tableau qui a été proposé. Qu’est-ce que vous en pensez ? Est-ce qu’il y a des choses sur lesquelles vous n’êtes pas d’accord dans ce tableau ? E16, est-ce que tu es d’accord avec ce qui est écrit dans ce tableau, est-ce que ça peut être un tableau possible ?

E16 : Oui je suis d’accord avec ça.

P : Oui, qui n’est pas d’accord ? E7, oui ?

E7 : Y a deux flèches qui montent là !

P : Alors, E7, elle est gênée par le fait qu’il y a deux flèches qui montent là côte à côte. Oui E23?

E23 : C’est possible mais on aurait dû faire une seule flèche.

P : Bon, est-ce que ça c’est faux ? Qu’est-ce qu’on peut dire de plus?

E23: C’est juste mais ça nous sert de préciser qu’il y a de zéro et euh…mais c’est pas faux.

P : C’est pas faux. Rien plus à dire sur ce tableau de variations ? Vous l’acceptez comme tableau ?

E23: Non, parce qu’il manque une valeur quand la fonction décroît et une valeur au-dessus entre 2 et 3. Il manque aussi une flèche entre 1 et 2.

P : Alors pourquoi il manque une flèche. Il doit toujours y avoir une flèche entre deux valeurs là ?

(Il y a des bruits et on ne comprend pas)

P : Bon, voilà la première remarque. Je vous propose un autre tableau de variations. Je vous propose une autre réponse.

Voici la deuxième réponse (n°2) qu’elle a proposée :

P : (Après avoir lu ce qui a été écrit sur le transparent) Qu’est-ce que vous en pensez de ça? (Elle s’adresse à l’élève qui donne cette réponse) E7, c’est toi qui as fait ça. Tu veux rajouter ? Alors vas-y !

E7 : Je pense que ça va pas, on peut donner plusieurs tableaux compatibles avec le tableau de valeurs et donc…

P : Oui donc…finalement tu pourrais répondre ou pas ?

E7 : Ben, on pourrait compléter le tableau de variations mais… (des bruits)… mais une seule réponse !

P : Donc, c’est vrai.

E7 : (Il y a des bruits, on n’entend pas ce qu’elle a dit)

P : Alors, tu es en train de dire que tu pourrais produire plusieurs tableaux de variations.

E7 : Non par rapport à la question…

P : D’accord finalement tu pourrais produire. Ce que tu as rajouté c’était quoi exactement ? On n’a pas bien compris.

E : Ben c'est-à-dire qu’on nous a demandé de représenter la fonction. On n’a pas pu parce que … (des bruits)…

P : Donc ça veut dire que, tu voulais dire que, je résume, étant donné qu’on nous donne que certains valeurs on peut pas fournir une seule réponse. Parce qu’elle dit que entre deux valeurs on ne connaît pas le sens de variation de la fonction. Et qu’est-ce que vous en pensez ? Si on regarde le tableau : l’image de -3 (elle demande de regarder le tableau aux élèves) c’est 2, l’image de -2 c’est 1, l’image de -1 c’est -1, etc. Alors, par exemple, si on regarde les images comment elles sont classées à partir de -1 ? E14?

E14 : Dans l’ordre croissant.

P : Dans l’ordre croissant. Donc, sur l’intervalle [0 ; 1] si, par exemple, je veux l’image de 0.5 qu’est qu’on peut en dire ?

E ? : Qu’elle est supérieure à -1 .

P : Elle est supérieure à -1 . Alors E7 n’est pas d’accord !

E7 : Pas forcément.

P : Pas forcément elle dit, toi pourquoi tu dis qu’elle est supérieure à -1 ? Qu’est qui te fait te dire ça ?

E ?: (…)

P : Qu’est-ce que vous en pensez ? Oui E23 ?

E23 : Je pense que -1 c’est euh…l’image de 0 c’est 0, l’image de 1 c’est 0.5 et euh mais c’est ça que ça se trouve à 0.5 euh c’est -5 à mon avis !

P : C’est possible ça que l’image de 0.5 ça soit -5 ?

(Quelques élèves répondent oui avec une voix faible)

P : Qu’est-ce que tu dis E8 ?

E8 : C’est pas possible parce qu’elle est définie sur l’intervalle [-3 ; 3]

P : Ah E8, il dit c’est pas possible. Elle définie sur [-3 ; 3] et l’image d’un nombre ne peut pas être moins de -3 ?

(des bruits)

E8 : Ah oui, oui, c’est bon.

P : Alors c’est quoi E8 ? Que est-ce que tu viens de réaliser ?

E8 : (des bruits) J’avais pas pensé… J’avais mélangé les valeurs de x et les images.

(La sonnerie retentit!)

P : Alors, nous avons un autre tableau de variations (Elle l’a mis sur la rétroprojecteur)

Voici la troisième réponse (n°3)

P : Est-ce qu’on l’accepte comme un tableau de variations possible? Non dit E28 ?

E28: Parce que dans le deuxième tableau, on met 0 comme l’image de 1 donc c’est faux !

P : D’accord.

E ? : Il manque une valeur.

P : Laquelle ?

E ?: ?

P : Qu’est-ce que vous en pensez de ce premier tableau ?

E16 : Il est juste.

P : Qu’est-ce qui fait te dire qu’il est juste, enfin qu’il est possible ?

E16 : (des bruits).

P : Oui, donc tu contrôles juste qu’on a bien l’image de -3 est 2, l’image de -1 est -1 (…) l’image de 2.5 et on ne donne pas l’image de 2.5 comment je peux savoir que c’est -1 ?

E ? : On imagine euh… (Des bruits)

P : On imagine ! Pourquoi alors, par exemple, on ne peut pas mettre 4 ?

E : Ca doit être inférieur à 1.

P : Ca doit être inférieur à 1 ! D’accord bon. Alors, finalement pour ce problème c'est-à-dire avec ce tableau de valeurs, y avait combien de courbes possibles ? Combien on en a trouvées ? 3, 4 je ne sais plus. E12 ?

E12 : Y en a plein.

P : Y en a plein. On peut les compter ?

(La réponse « une infinité »est donnée par quelques élèves).

P : Une infinité. Et le tableau de variations ?

(A nouveau la réponse est donnée « une infinité » par quelques élèves).

P : Une infinité aussi. Alors quelle conclusion on pourrait en tirer de ça ?

E12 : Ca ne suffit pas d’avoir un tableau de valeurs ou quelques points de la courbe pour définir la fonction.

P : (Elle la répète) Alors qu’est-ce qu’il faudrait … (des bruits)…?

(Des bruits)

P : Alors E7 ?

E7 : Il faudrait qu’on nous donne la fonction.

P : Il faudrait qu’on nous donne la fonction ! C’est-à-dire ?

E7 : Sa formule… (Des bruites)…

P : Comment ? Il faudrait quelle information, sous quelle forme il faudrait donner des informations ?

E7: Avec des x.

P : Avec des x qu’est-ce que vous euh… oui E23 ?

E23 : Il faut qu’on nous donne l’expression littérale de la fonction.

P : Il faut qu’on nous donne l’expression littérale de la fonction ! Que est-ce que ça veut dire E11 ?

E11 : La formule f(x), la formule de la fonction…

P : La formule de la fonction. La formule qui définit la fonction. Oui ?

E ? : Il faudrait que la fonction soit monotone.

P : Il faudrait que la fonction soit monotone ! Alors si on connaît le domaine de définition si on sait que la fonction est monotone est-ce que... euh.. on l’a précisément la fonction ? C'est-à-dire qu’on n’aurait qu’une courbe possible, euh...

E ? : Si on connaît toutes les images.

P : Si on connaît toutes les images !

E ? : ça veut dire quoi monotone ?

E ? (Un autre) : Soit f est croissante soit f est décroissante.

P : Donc, il faudrait qu’on ait toutes les images de l’ensemble de définition ou bien il faudrait qu’on ait la formule f(x) pour avoir précisément la fonction ! Est-ce que vous avez quelque chose à rajouter ? Non ? Bon ben on s’arrête là !