a) Modèle gravitaire et principes de maximisation d’entropie sous contraintes [Wilson, 1971]

• L’application du principe d’entropie à une macro-analyse du comportement spatial : la proposition de Wilson

Wilson part de la formulation d’un système spatial. Celui-ci est représenté par une matrice nm de déplacements (ou interactions) Tij entre une série de zones d’origine i (i=1…n) et des zones de destination j (j=1…m). Soit par exemple, Tij les déplacements domicile-travail de la population P du système, localisée en termes résidentiels en zone d’origine et en termes d’emplois en zone de destination. L’information de base est limitée au macro-état du système, c’est-à-dire au nombre de résident dans chacune des zones d’origine Oi et au nombre d’emplois dans chaque zone de destination Dj tandis que le micro-état du système, c’est-à-dire la localisation d’emplois et de résidence de chaque individu, est inconnu, mais en réalité peu importante. L’inconnue importante est le nombre d’habitant de chaque zone i qui se rend tous les jours au travail en zone j, ce que l’on peut appeler le méso-état Tij du système. La description du système spatial est quantitative et ne permet pas d’individualiser les unités statistiques qui demeurent interchangeables. Par conséquent, le nombre de fois où l’on peut obtenir une distribution donnée dépend des permutations pouvant être réalisées :

Ainsi, la distribution la plus fréquente correspond à la plus grande valeur de la fonction W. Au lieu de travailler sur cette expression complexe, Wilson considère son logarithme et introduit l’entropie du système :

Dans le cas d’une situation avec le maximum de contraintes (quand par exemple un planificateur territorial tout puissant décide de minimiser la consommation du sol et de maximiser les économies d’échelle dans la construction et le transport) l’habitant résidentiel et les postes de travail sont concentrés respectivement dans une seule zone : on a là une condition d’ordre maximum et de probabilité minimale.

En revanche, faute de contraintes, le principe d’entropie pousse le système vers le désordre maximum et la probabilité maximale, c’est-à-dire vers une situation à répartition spatiale homogène des deux activités.

• La spécification du modèle gravitaire de Wilson dérivée de la maximisation de l’entropie sous contraintes

Source : d’après A. Bonnafous et S. Masson [1999]