1.2. Les références théoriques
Notre étude embrasse divers pôles : 1) Le savoir préconisé dans les programmes officiels, celui présenté dans les manuels et celui mobilisé par les élèves ; 2) Le savoir faire des élèves et des professeurs ; 3) Les procédures de validation des élèves ; 4) Les interprétations des erreurs par les professeurs. Par suite, nous avons eu recours à divers cadres théoriques pour faire nos analyses.
Pour analyser les manuels et les séances de classes ordinaires, nous utilisons la théorie anthropologique du didactique de Chevallard (1998, 1999). Nous utiliserons particulièrement la notion d’organisation praxéologique mathématique et didactique qui vise à analyser toute action humaine en termes de bloc pratico-technique qui comprend des types de tâches et des techniques pour réaliser ce type de tâches (qui constitue un savoir-faire) et le bloc technologico-théorique qui justifie la technique (ordinairement identifié comme un savoir). Nous détaillerons ces notions au chapitre 2.
De plus, nous utiliserons souvent la notion d’ostensifs développée par (Bosch et al., 1999) qui indique que dans toute activité humaine, il y a co-activation d’objets ostensifs et d’objets non ostensifs. Les écritures, symboles, mots, discours, graphismes et gestes mobilisés dans l’activité mathématique sont des objets ostensifs et ont une caractère matériel et perceptible. D’autre part, les objets non ostensifs sont des notions, concepts, idées, etc.. Par exemple, écrire 2+3=5 peut être vu comme une simple manipulation d’objets ostensifs, mais ne saurait s’effectuer intentionnellement sans l’intervention de certains objets non ostensifs spécifiques, telle la notion d’addition. Or dans le calcul littéral, nous pouvons mettre en évidence certains ostensifs qui seront particulièrement utilisés comme les symboles d’opération, le signe =, les lettres pour désigner les variables, les parenthèses, les graphismes comme les flèches, les traits qui soulignent ou qui entourent, les couleurs ainsi que les gestes qui peuvent être faits par le professeur ou les élèves. Tous ces ostensifs sont mobilisés pour permettrent un travail sur le savoir mathématique ou pour aider à une meilleure compréhension.
Par exemple, on peut voir sur l’extrait suivant, provenant de la partie du manuel mathématique Magnard, 4ème, 2002, comment les auteurs utilisent des ostensifs (flèches, termes souligné) pour indiquer aux élèves ce qu’il faut faire.
Nous pouvons voir que la propriété de développer est encadrée et le mot développer est en gras, ce qui a pour but de souligner son importance. il a également une référence forte à la forme de l’expression ("produit", "somme", "différence")
Pour les erreurs spécifiques au calcul littéral, nous prenons en compte les travaux sur l’algèbre. Des études ont porté sur l’analyse de ce savoir mathématique et notamment sur l’articulation (en termes de ruptures et de continuités) entre l’arithmétique et l’algèbre (Vergnaud, 1988, 1989, Chevallard, 1985, 1989, 1990 ou Gascon, 1994). D’autres travaux ont porté sur les statuts des différents objets (lettres, signe égal, signes opératoires, etc.) comme ceux de Kieran, 1990 ou Bednarz et al., 1996, et enfin d’autres sur les erreurs (Behr et al., 1980, Booth, 1988, Drouhard, 1992, Grugeon, 1995 et Kirshner et al., 2004). Nous avons donc fait une synthèse rapide de ces travaux sur lequel notre propre recherche prend appui : il ne s’agit pas de présenter en détail les différentes études mais, plutôt d’en pointer les éléments qui ont pu nous servir directement. Ainsi, nous avons organisé cette synthèse autour des difficultés des élèves liées aux techniques de résolution des tâches de type développer et/ou réduire une expression littérale en soulignant les erreurs classiques relatives à ces tâches.
Ensuite, pour les interprétations par les professeurs des productions des élèves, notamment leurs erreurs nous prenons la typologie de DeBlois, 2006 qui définit des milieux 2 auxquels les professeurs sont sensibles et se référent pour interpréter les erreurs des élèves.
Enfin, pour avoir une typologie pour les types de validation que les élèves peuvent mettre en œuvre nous nous sommes inspiré du travail de Coppé, 1993 qui définit des types de vérifications mises en œuvre par les élèves.