Chapitre 2. Etude du savoir relatif au calcul littéral 

L’objet principal de ce chapitre est d’effectuer une analyse du savoir relatif au calcul littéral. Nous allons étudier les programmes officiels du collège et les manuels dans les classes de 4ème en France et 5ème au Liban portant sur le calcul littéral. Nous avons choisi de commencer par cela pour pouvoir cerner notre étude.

Dans notre recherche, nous abandonnons l’étude de la résolution des équations en tant que telle ; nous nous centrons sur le calcul littéral qui permet de résoudre des équations mais qui peut être aussi un objet d'enseignement. Nous entendons par "calcul littéral", le calcul sur des expressions algébriques contenant des lettres. En fait, il s’agit d’un jeu formel portant sur des écritures symboliques. (Chevallard & al., 1984)

‘"L'algèbre constitue pour les élèves une rupture épistémologique importante d'avec l'arithmétique. Cette rupture mérite une analyse détaillée, car beaucoup d'élèves n'entrent pas facilement dans le jeu des manipulations symboliques." Vergnaud, 1988
"Par "introduction à l'algèbre", on peut entendre plusieurs choses distinctes :
- mise en équation de problèmes arithmétiques simples et résolution par l'algèbre ;
- règles élémentaires de traitement et de transformation des équations ;
- première explicitation des concepts de fonction et de variable ;
- mise en évidence de certaines propriétés structurales des ensembles de nombres, notamment l'ensemble des relatifs et de l'ensemble des rationnels ;
- etc…
Il est raisonnable de penser que c'est un savant équilibre de ces différentes composantes conceptuelles et des situations qui leur donnent du sens qui peut permettre aux élèves de comprendre en profondeur la fonction, la structure et le fonctionnement du raisonnement algébrique. Mais quel équilibre ?" Vergnaud, 1989’

Les règles de calcul littéral sont celles qui transforment une expression en une nouvelle tout en conservant l’équivalence entre les deux.

Dans une première partie, nous décrivons le cadre théorique que nous avons utilisé pour faire les analyses des manuels.

Dans la deuxième, nous explicitons l’évolution des programmes concernant le calcul littéral de 1971 à 1995 en classe de 4ème en France. Puis, nous analysons le savoir relatif au calcul littéral dans les programmes officiels au collège dans les deux pays. Dans la troisième partie, nous étudions le chapitre portant sur le calcul littéral dans des manuels mathématiques de la classe de 4ème en France et 5ème au Liban. Pour terminer, nous prolongeons les études faites par une étude lexicographique des termes employés dans les manuels.