2. Analyse des programmes officiels du collège

Nous avons analysé les programmes de 1995 en France et de 1998 au Liban (depuis que nous avons commencé notre thèse de nouveaux programmes sont parus qui ne diffèrent que très peu des programmes anciens, ils ont notamment été réécrits pour intégrer les connaissances relatives au socle commun).

Pour compléter notre analyse du programme de 1995 et pour éclairer le moment d’apparition du terme "calcul littéral", en France, nous avons choisi de montrer les anciens programmes de quatrième de 1971 à 2004.

Ce tableau récapitulatif nous montre que les termes "calcul littéral", "développement", et "réduction" apparaissent-dans le programme français des années 1985. Avant cette année, les écritures littérales sont désignées et étudiées par "les polynômes" particulièrement entre 71-77. On voit donc d'une part que les termes ont changé ainsi que les éléments technologico théoriques puisque le point de vue d'étude en 1971 indique une référence explicite aux fonctions polynômes, qui disparaît ensuite.

Nous continuons cet étude par une analyse détaillée des programmes de 1995 en France et 1998 au Liban.

Dans les tableaux ci-dessous sont présentés successivement des extraits des programme de collège en France et au Liban. Nous avons choisi de les montrer pour faciliter la lecture de nos analyses.

Les deux programmes sont décomposés en trois rubriques relativement semblables. Notons également qu'en France on parle "d'écritures littérales" alors qu'au Liban, on utilise "expressions algébriques".

Le programme libanais :

Le calcul littéral est introduit à partir de la classe de 5ème en France et en 6ème au Liban. Les élèves ont déjà rencontré des formules dans lesquelles on utilise des lettres pour désigner des nombres et ils ont déjà résolu des équations mais sans introduire d'inconnue.

Les éléments de savoir sont introduits progressivement et séparés dans le temps : les élèves étudient la distributivité de la multiplication sur l’addition ou la soustraction ainsi les identités k(ab)=kakb (en 6ème au Liban, en 5ème en France) puis les identités (ab)(cd)=acadbcbd (en 5ème au Liban, en 4ème en France) et enfin les identités remarquables (en 4ème au Liban, en 3ème  en France). On voit bien des points essentiels des différences entre le Liban et la France. En effet, les deux types de tâches de factorisation et développement ne se font pas au cours de la même année en France. Le travail sur des tâches de type "factoriser une expression littérale", est introduit en tant que tel en 3ème à la différence du Liban où ces deux type de tâches apparaissent en 5ème.

L’apprentissage du type de tâche"réduire une expression littérale" est demandé dans les classes de 4ème en France et de 5ème au Liban. En revanche, contrairement à la façon d’introduire le développement ou la factorisation en s’appuyant sur la distributivité de la multiplication sur l’addition ou la soustraction, on ne donne ni technique mathématique ni d’éléments du bloc technologico-théorique pour l’identifier :

‘" Les applications donnent lieu à deux types d’activités bien distinctes : le développement qui correspond au sens de lecture de l’identité indiquée, et la factorisation qui correspond à la lecture «inverse» ka+kb = k(a+b) " (le programme français, classe 5ème , colonne commentaire) ". ’

Cependant deux exemples d'utilisation sont proposés dans le programme français de 4ème :"réduire une expression littérale à une variable, du type 2x2-3x+x2 ; 3x–(4x–2) ". Ici nous soulignons la forme particulière des expressions : polynôme de degré inférieur ou égal à 2, écrit sous forme de sommes avec éventuellement des parenthèses. Pour effectuer la tâche sur la deuxième expression, notons qu'on peut développer l'expression –(4x–2) en utilisant la distributivité par –1 sur (4x–2), pour enlever la parenthèse, puis qu'on utilise ensuite la factorisation et la soustraction pour avoir une expression littérale réduite. Ainsi, il semblerait que le programme français distingue des cas d'utilisation des termes "développer" ou "réduire" selon la forme des expressions.

Dans le programme libanais, aucune indication sur les formes des expressions à réduire ni sur le nombres de variables n’est indiquée. On note aussi qu’au Liban développer et réduire sont associés dans une même phrase. D’après cela, on peut penser qu’il n’y a pas des tâches de type développer une expression littérale ou réduire une expression littérale.

Pour conclure, cette étude nous a montré qu’il y a un découpage important du savoir relatif au calcul littéral sur plusieurs années. Il nous semble que cela risque d’empêcher les élèves d’établir des liens entre ces différents types de tâche et outils et de parcelliser leur savoir sur l’algèbre élémentaire. Enfin, nous nous questionnons sur les types de tâches dans les manuels, les techniques utilisées, et les éléments des blocs technologico-théoriques correspondantes.