3.1. Partie "Exercices"

L’analyse de la partie "Exercices", selon la théorie anthropologique de la didactique, nous a permis de déterminer les types de tâches qui mettent en jeu du calcul littéral. Ainsi, nous avons déterminé les "5 grands types de tâches" suivants :

• Développer, réduire, et factoriser des expressions littérales : ces sont les tâches de calcul littéral classique qui permettent de faire des calculs.
• Obtenir un résultat numérique. Par exemple, calculer la valeur numérique d’une expression littérale ou calculer la longueur, l’aire, etc. d’une figure donnée ou vérifier un résultat.
• Traduire par une expression littérale/Associer diverses expressions provenant de registres différents au sens de Duval, 1993 (langue naturelle, langage symbolique ou représentation graphique)/ Indiquer un ou des éléments caractéristiques. Par exemple, indiquer si une expression donnée est une expression-somme ou une expression-produit, associer des expressions littérales à des situations décrites en langue naturelle ou à des figures géométriques.
• Déterminer et utiliser une expression littérale. Par exemple, écrire une expression littérale à partir d’une situation donnée, (périmètre, aire, volume, d’une figure donnée ou correspondant à un programme de calcul donné) et se servir de cette expression pour démontrer une formule générale.
• Résoudre des équations.

En ce qui concerne ce dernier type de tâche, nous l'indiquons ici mais nous ne le prendrons pas en compte dans nos analyses puisque, d'une part, il n'y a que 2 manuels qui intègrent la résolution d'équations dans le chapitre "Calcul littéral" et que d'autre part nous nous centrons sur les types de tâches de développement et réduction.

Les trois premiers types de tâches ont pour la plupart du temps un aspect technique important et sont pratiquées comme des tâches à part entière.

Dans les tableaux suivants, un pour la France et un pour le Liban, nous avons relevé les fréquences d'apparition des différents types de tâches. Nous avons découpé le premier en types de tâches caractérisés par la consigne et par la forme de l'expression. Nous avons relevé chaque tâche à l'intérieur des exercices quand ceux-ci comportaient plusieurs questions ⁵ .

Chapitre 2 – Tableau n°4 : analyse de 4 manuels français partie "Exercices"

France	Triangle, HATIER		Transmath, NATHAN		Cinq sur Cinq, HACHETTE		Maths 2002, MAGNARD
	effectif	%	effectif	%	effectif	%	effectif	%
"Réduire une expression littérale" avec un polynôme de degré inférieur ou égale à 3 et avec un produit de polynômes de degré 1	129	39,8	29	13,4	29	13,1	46	28,6
"Développer une expression littérale" avec un produit de monômes de degré 1	16	4,9	9	4,1	3	1,4	23	14,3
"Développer et réduire une expression littérale" avec un produit de polynômes de degré 1 ou avec un somme de produits de polynômes de degré 1	114	35,2	86	39,6	89	40,1	19	11,8
calculer la valeur numérique d’une expression littéraleou d’une longueur / d’aire / d’un périmètre d’une figure"	17	5,2	45	20,7	56	25,2	20	12,4
"vérifier l’égalité de deux expressions littérales données"	14	4,3	14	6,5	14	6,3	0	0,0
Traduire une expression littérale / Associer diverses expressions dans des registres différents / Indiquer un ou des éléments caractéristiques	16	4,9	0	0,0	1	0,5	28	17,4
Déterminer et utiliser une expression littérale	18	5,6	34	15,7	30	13,5	25	15,5
Total	324	100	217	100,0	222	100,0	161	100,0

Un premier résultat est que la grande majorité des tâches sont de type développer et/ou réduire une expression littérale (80%). Parmi ces 80%, la moitié consiste en des types de tâches concernant seulement réduire, et l'autre moitié concernant développer et réduire, assez peu développer seulement. Parmi les tâches de type réduire ou développer et réduire, il y a plusieurs formulations qui peuvent être "simplifier"et "supprimer ou enlever les parenthèses", termes qui n’apparaissent pas dans les programmes.

Le terme "simplifier" apparaît dans les consignes de deux manuels (Triangle et Maths 2002 Magnard). Dans Triangle, simplifier est utilisé 6% avec une somme des polynômes de degré 1, à l’intérieur de parenthèses, ou une somme de termes (produits polynômes de degré 1 et de termes constants). Dans Maths 2002 Magnard, simplifier est utilisé pour 8% des exercices avec des polynômes de degré 1 ; somme des polynômes degré 1, à l’intérieur de parenthèses ; produit des monômes de degré inférieur ou égale à 2., "Enlever (ou supprimer) les parenthèses" apparaît dans Nathan 12% (27 tâches de type supprimer les parenthèses (et réduire)) et dans Magnard 2% (4 tâches). Le terme calculer (à la place de développer ou de réduire) n’apparaît dans aucun de ces manuels.

Les autres types de tâches apparaissent peu fréquemment. On peut penser que les auteurs de manuels considèrent que les tâches simples qui ne mettent en jeu que de la technique sur le calcul littéral sont tellement importantes qu'elles deviennent quasiment les seules proposées. On voit également, comme nous l'avions annoncé précédemment que ces tâches sont réalisées sans finalité et qu'elles sont peu liées aux autres tâches.

Le deuxième tableau porte sur les manuels libanais :

Chapitre 2 – Tableau n°5 : analyse de 4 manuels libanais partie "Exercices"

	Puissance AL-AHLIA DESCARTES Construire les mathématiques CNRDP Euclide DAR-AL-MOUFID L’art des Maths CENTRE DES SCIENCES DIDACTIQUES effectif % effectif % effectif % effectif %
"Réduire une expression littérale" avec une somme à plusieurs variables un polynôme de degré inférieur ou égale à 3 ou avec un produit de monômes à plusieurs variables	17	8,8	12	13,2	36	22,2	43	39,8
"Développer une expression littérale" avec un produit d’une somme à plusieurs variables et d’un monôme	9	4,6	0	0,0	0	0,0	14	13,0
"Développer et réduire une expression littérale" avec une somme de polynômes de degré inférieur ou égale à 4 ou somme de sommes à 2 variables ou de produit de sommes à 2 ou 3 variables	47	24,2	33	36,3	34	21,0	0	0,0
"factoriser une expression littérale"	49	25,3	10	11,0	33	20,4	10	9,3
calculer la valeur numérique d’une expression littéraleou d’une longueur / d’aire / d’un périmètre d’une figure"	22	11,3	13	14,3	22	13,6	0	0,0
"vérifier l’égalité de deux expressions littérales données"	26	13,4	0	0,0	18	11,1	0	0,0
Traduire une expression littérale / Associer diverses expressions dans des registres différents / Indiquer un ou des éléments caractéristiques	15	7,7	7	7,7	0	0,0	37	34,3
Déterminer et utiliser une expression littérale	9	4,6	16	17,6	19	11,7	4	3,7
Total	194	100,0	91	100,0	162	100,0	108	100,0

Comme dans les quatre manuels français, la majorité des tâches sont de type développer et/ou réduire une expression littérale : dans deux manuels Euclide et Puissance, plus d’un tiers de tâches sont de type développer et/ou réduire des expressions littérales et dans les deux autres manuels environ la moitié de tâches sont de ce type.

Des exercices comportant "simplifier" ou "donner la forme simplifiée" apparaissent dans trois manuels :

• dans "Construire les mathématiques", simplifier est utilisé 7% dans l’énoncé : Développer, réduire et simplifierune expression littérale avec un produit des sommes à deux variables ;
• dans "Euclide" simplifier n’apparaît pas mais le terme "forme simplifiée" est utilisé 7% dans l’énoncé "écrire en forme simplifiée l’aire / ou le périmètre d’un figure" ;
• Dans "L’art des Maths", simplifier est utilisé 6% dans l’énoncé "simplifier chacun des produits"

Donc, dans ces cas, le terme simplifier (ou forme simplifiée) est lié aux deux types de tâches "développer et réduire une expression littérale" et au type de tâche "réduire une expression littérale".

"Supprimer les parenthèses" n’apparaît que dans Construire les mathématiques 12% (11 tâches). Tandis que "calculer" n’apparaît pas que dans Collection Puissance, 10 %(16 tâches).

Pour conclure, les types de tâches "réduire une expression littérale" et "développer puis réduire une expression littérale" sont les plus fréquentes dans les manuels libanais et français. Nous remarquons que les mêmes types de tâches apparaissent, avec une fréquence différente, dans les deux pays sauf “factoriser une expression littérale” qu’on le trouve seulement dans les manuels libanais.