Le type de tâche "développer une expression littérale"

Nous avons groupé les différentes formulations en trois :

• Utiliser les règles de la distributivité par rapport à l’addition ou la soustraction pour transformer le produit de facteurs en une somme (ou différence) de termes.(3 manuels sur 8)
• la factorisation est l’opération inverse du développement ou ab-ac (forme développée)= a(b-c) (forme factorisée)." (2 sur 8)
• Transformer une expression de la forme d’un produit de facteurs à la forme d’une somme ou différence de termes (ou remplacer le produit (a+b)(c+d) par la somme ac+ad+bc+bd ou remplacer m(a+b) par la somme ab+ac). (4 sur 8 manuels)

Nous allons détailler chacune de ces formulations.

Tout d’abord, pour développer une expression littérale, la propriété de la distributivité de la multiplication sur l’addition ou la soustraction, élément dans le bloc technologico-théorique, n’est pas mise en avant dans tous les manuels. On peut le trouver dans seulement 3 sur 8 manuels (2 manuels français et 1 libanais) :

‘"Développer c’est transformer le produit de facteurs en une somme (ou différence) de termes en utilisant les règles de la distributivité par rapport à l’addition ou la soustraction." (Triangle, 4ème, HATIER, 2002, p. 112, Math, 4ème, MAGNARD, 2002, p. 209)’ ‘"Le produit de deux expressions algébriques est une expression algébrique ; et l’opération qui consiste à effectuer ce produit s’appelle le développement" ou "développer : transformer une expression de la forme d’un produit à la forme d’une somme." (Construire les Mathématiques, 5ème, CNRDP, 1998, p. 112-113)’

On voit bien que dans ces formulations il y a une référence explicite à la propriété de distributivité.

On fait référence à factoriser dans 2 manuels libanais :

‘"factoriser : transformer une expression de la forme d’une somme à la forme d’un produit : c’est l’opération inverse du développement" (Construire les Mathématiques, 5ème, CNRDP, 1998, p. 113)’ ‘"ab-ac (forme développée) = a(b-c) (forme factorisée)" (L’art Des Maths, 5ème, CENTRE DES SCIENCES DIDACTIQUES, 1998, p. 177)’

Enfin, il y a des références à la forme de l’expression initiale (à développer) et/ou finale (développée) dans 4 sur 8 manuels (2 manuels français et 2 libanais).

Chapitre 2 – Figure n°1

Extrait dans la partie «De quoi S’agit-il ?», page 73. Cinq Sur Cinq, 4ème, HACHETTE, 2002

Nous voyons qu'il y a une définition essentiellement basée sur des ostensifs "développer une expression littérale, c'est l'écrire comme une somme de termes", on ne mentionne aucune référence à une technique utilisant, par exemple, des opérations. Le développement est vu comme une simple transformation d'écriture.

Voici d’autres citations qui sont un peu semblables : ces énoncés donnent une indication de ce qu’il faut faire sans donner de méthode. Il n’y a pas d'indications de techniques dans ces définitions.

‘"c’est transformer en une somme de termes" (Transmath, 4ème, NATHAN, 2002, p. 71) ’

Dans les deux énoncés suivants, il n'y aucune indication sur la forme (produit, somme) , il y a seulement la données des expressions initiales et finales.

‘"le développement de (a+b)(c+d) est ac+ad+bc+bd" (Puissance, 5ème, AL-AHLIA DESCARTES, 1998, p. 37)’

Enfin, dans le manuel suivant, on donne l'idée d'une règle à appliquer sans que celle-ci soit caractérisée.

‘"on développe d’après la règle de calcul a(bc)=abac" (Euclide, 5ème, DAR ALMOUFID, 1998, p. 189)’

Nous nous demandons quelles significations ces formulations peuvent avoir pour les élèves et surtout quels moyens de contrôle ils peuvent exercer.

Avec des types d'expressions assez semblables, on peut trouver aussi "supprimer les parenthèses" ou "réduire" avec les expressions (ab)(cd) ou –(ab). Dans les manuels les règles associées sont les suivantes :

‘"Quand les parenthèses sont précédés du signe +,on peut les supprimer en conservant les signes intérieurs aux parenthèses" ou "Quand les parenthèses sont précédées du signe – , on peut les supprimer en changeant les signes intérieurs aux parenthèses." (Cinq sur Cinq, 4e, HACHETTE, 2002, p. 74, partie "retenir et appliquer", règles, suppression de parenthèses)’ ‘"L’opposé de la somme a+b est la somme des opposés de a et de b : -(a+b)=-a-b et l’opposé de la différence a-b est la somme de b et de l’opposé de a : -(a-b)=-a+b" (Transmath,4e, NATHAN, 2002, p. 70, partie "cours", propriétés, opposé d’une somme, d’une différence)’

Là encore, on note des indications sur comment il faut faire sans que des justifications soient données, sans faire appel à des connaissances mathématiques que les élèves possèdent. Ainsi ceux-ci ont des procédures à appliquer ou bien des cas différents sont montrés mais ils n'ont pas de procédures de contrôle. Notons enfin, suite au deuxième exemple, que les deux opérations additions et soustractions sont sans cesse convoquées.

Pour conclure, nous constatons que pour un type de tâches qui pourrait être le même, à savoir "développer une expression littérale" en utilisant la distributivité de la multiplication sur l’addition, il y a des formulations différentes suivant la forme de l'expression. De plus la propriété de distributivité n’est pas rappelée dans la majorité des manuels étudiés (5 sur 8), ce qui confirme une de nos hypothèses de recherche selon laquelle il y a une absence dans les éléments technologiques/théoriques pour justifier les calcul littéraux. Il faudra donc voir dans les classes comment les professeurs utilisent ces éléments.