Réduire une expression-somme

Voici les formulations que nous avons trouvées et que, nous regroupons de la façon suivante :

• La distributivité permet de justifier les réductions des sommes / k, a et b désignent des nombres relatifs : kakb=k(ab) ; akbk=(ab)k, est une propriété pour réduire une expression. (4 sur 8)
• Trouver la somme des termes semblables dans une expression (3 sur 8)
• Ecrire avec le moins de termes possibles (1 sur 8)

Pour réduire un polynôme ou une somme à plusieurs variables, il y a des manuels français (3 sur 4) et libanais (1 sur 4) qui renvoient explicitement à la distributivité :

‘"La distributivité permet de justifier les réductions des sommes"(Triangle, 4ème, HATIER, 2002, p. 112)’ ‘"Pour réduire une expression on utilise la propriété : k, a, b désignent des nombres quelconques, les égalités suivantes sont toujours vraies : ka+kb=k(a+b) ; ka-kb=k(a-b)" (Math, 4ème, MAGNARD, 2002, p. 208)’ ‘"une propriété pour réduire une expression : k, a et b désignent des nombres relatifs kakb=k(ab) ; akbk=(ab)k" (Cinq sur Cinq, 4e, HACHETTE, 2002, p. 74)’ ‘"somme réductible, monômes semblables : 3x2+2x2=(3x2)+(2x2)=(3+2)x2 la multiplication est distributive par rapport à l’addition". (L’art Des Maths, 5ème, CENTRE DES SCIENCES DIDACTIQUES, 1998, p. 177)’

Nous remarquons qu’ils s’appuient sur la factorisation comme technique mais sans parler explicitement de ce terme.

Cependant, dans la majorité des manuels libanais (3 sur 4 libanais) l’explication est faite à travers l’algèbre de polynômes, notamment "termes ou monômes semblables" ⁷ , avant l’introduction de la factorisation :

‘"On réduit les termes semblables d’une expression algébrique d’après ax+bx-cx=(a+b-c)x (Euclide, 5e, Dar AL MOUFID, 1998, p. 189)’ ‘Réduire c’est trouver la somme des termes semblables dans une expression (Construire les mathématiques, 5e, CNRDP, 1998, p. 113)’ ‘Réduire des termes semblables revient à les remplacer par un terme unique, semblable à chacun d’eux et ayant pour coefficient la somme algébrique de leurs coefficients" (Puissance, 5e, AL-AHLIA DESCARTES, 1998, p. 128). ’

D’autres manuels (1 sur 8) ne présentent ni la factorisation ni la propriété de la distributivité. On trouve des formulations portant sur le sens courant :

Dans cette phrase, il n’y a pas de référence mathématique, ni à une procédure ni à une technique. On peut se demander, du point de vue de l’élève, quelle sera la signification du "moins de termes possibles". On peut penser que cela l'incitera peut-être à n'en avoir qu'un seul.

Pour conclure, quand on réduit une expression littérale, on n’a pas toujours besoin de mobiliser la distributivité parce que d’autres techniques sont disponibles. En effet, il y a deux blocs technologico-théorique qui correspondent à ce type de tâche : l’un fait référence à la propriété de la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition ou la soustraction sur l’ensemble des réels : c'est celui qu’on trouve dans la majorité des manuels français (3 sur 4) et qui correspond aux programmes français et libanais. Tandis que l’autre technique est d’ajouter les coefficients des monômes semblables. Pour cela, on se place dans l’algèbre des polynômes dans laquelle la lettre représente une variable ou une indéterminée ainsi. C’est ce qu’on trouve dans la majorité des manuels libanais (3 sur 4) dans lesquels on identifie la réduction sans parler de la propriété de la distributivité et avant d’introduire la factorisation.