4.1. Dans les dictionnaires de la vie courante

Dans les deux dictionnaires, le mot "développer" a plusieurs sens et est utilisé dans plusieurs contextes ⁸  :

• En économie et industrie : faire croître ou agrandir.
• En art et littérature : exposer en détails.
• En algèbre : développer une expression algébrique, effectuer les opérations indiquées. 
• En géométrie et architecture : projeter ou représenter (faire apparaître en les étalant) sur un plan toutes les surfaces d’un corps solide.
• En photographie : faire apparaître les images fixées sur la pellicule au moyen de procédés chimiques.
• En cyclisme : parcourir une certaine distance par tour de pédalier de bicyclette.
• Dans d’autre contexte, c’est enlever ce qui enveloppe, étendre ce qui est plié, enroulé.

On voit donc que développer est associé à grandir, s'accroître et qu'il a plusieurs sens qui varient selon les différents contextes. "Détailler" est l’un des synonymes qui peut être en contradiction avec la signification d’une expression développée (une somme) comme nous avons déjà indiqué. Une expression développée a la forme d’une somme, signifiant une unité : "ensemble de choses considérées globalement ou qui s’ajoutent total ou "résultat du groupement de plusieurs objets". Or, développer peut signifier détailler. Ces deux termes, "unité" et "détailler", sont contradictoires et peut donc provoquer des confusions chez les élèves surtout quand la propriété de la distributivité n’est pas mise en avant.

En ce qui concerne "réduire", on trouve:

• En géométrie : changer en diminuant la dimension de.
• En économie et commerce : rendre plus petit ou moins nombreux. C’est synonyme d’abaisser, diminuer, restreindre. Par exemple, réduire le prix de 10%.
• En littérature : rendre plus court. C’est synonyme de raccourcir.
• En mathématique et en physique : ramener à ses éléments, à un état plus simple. C’est synonyme de simplifier. Par exemple réduire des fractions au même dénominateur. 
• En chimie : éliminer l’oxygène de (un corps).
• Dans d’autre contexte c’est ramener à un état inférieur, plus simple ou c’est borner ou limiter (à).

Des sens différents comme diminuer, raccourcir et rendre plus petit peuvent provoquer des difficultés chez les élèves. Par exemple, raccourcir peut dire, pour les élèves, avoir une réponse formée seulement d’un nombre. De plus, cela peut être renforcer par les pratiques en arithmétique où les élèves ont l’habitude d’avoir un nombre dans la réponse.

Des synonymes de développer, comme "élargir" ou "s’allonger", sont des antonymes du terme réduire. Nous nous questionnons donc sur la signification de "développer, puis réduire".

Simplifier est un mot courant de la langue française signifiant : rendre plus simple, moins complexe ou moins chargé d’éléments accessoires  réduire ; représenter sans tenir compte de la complexité. Le contraire de simplifier c’est "développer" ou compliquer. Ce terme renvoie à différents contextes : art et littérature, droit, physique, économie, ergonomie, mathématique, etc. On l’utilise aussi sur le plan moral et dans la communication. Enfin, en mathématique, ce terme apparaît dans le contexte des fractions : "simplifier une fraction : trouver, si possible, une fraction irréductible équivalente". Dans ce cas, son synonyme est "réduire". Ainsi, nous se demandons si les élèves et professeurs considèrent que simplifier et réduire une expression littérale veut dire la même tâche à effectuer.

Nous soulignons que ce terme est vague et nous pensons encore une fois qu’il peut provoquer des erreurs chez les élèves. Par exemple, s’il y a une expression littérale avec une parenthèse de la forme (a+b)-(c+d) et on demande de simplifier, il y a un risque que les élèves s’appuient sur le sens commun et enlèvent juste les parenthèses sans changer les signes à l’intérieur des parenthèses. Nous nous demandons si la signification de rendre simple ou alléger l’écriture dans le contexte du calcul littéral, pour les élèves et pour les professeurs, conduit à effectuer des opérations (par exemple annuler les nombres opposés ou supprimer les parenthèses)  ou se limite aux conventions syntaxiques (par exemple cacher le signe multiplier).

Pour conclure, nous avons trouvé que développer et réduire ont plusieurs significations dans des contextes différents. Parmi ces sens, il y’en a qui sont antonymes (par exemple développer c’est détailler ou agrandir, tandis que réduire c’est diminuer ou raccourcir). Il semble donc que les énoncés d’exercices qui demandent de "développer et réduire" risquent d’entraîner une confusion chez les élèves.