Développer une expression littérale

La première utilisation du terme développer revient au moyen âge :

‘"au moyen âge développer signifie sortir de ce qui enveloppe. Le mot développement existe dès la fin du XIV siècle pour désigner l’action de déplier ce qui est enveloppé. Son sens s’est étendu depuis à nombreux domaines et consiste a décomposer des structures ou des expressions compliquées en éléments plus simple et mieux connues". (Hauchecorne, 2003)’

La définition du développement d’une expression littérale dans Bouvier et al., 2005 et dans Chambadal, HACHETTE, 1981, fait référence à la propriété de la distributivité de la multiplication sur l’addition :

‘"Distributivité de la multiplication par rapport à l’addition ou la soustraction ; lorsqu’un produit AB a pour développement la somme C+D ou la différence C-D, on dit que le produit AB a pour développement la somme C+D ou la différence C-D. Exemple : pour tous réels x, y et z, les sommes ou différences xy-xz, x2+2xy+y2, 5x2y+20xy2-10xy sont respectivement les développements de x(y-z), de (x+y)2 et de 5xy(x2+4y-2)". (Bouvier, et al., 2005) ’ ‘"lorsqu’un produit AB est une factorisation d’une somme C+D ou d’une différence C–D, on dit que le produit AB a pour développement la somme C+D ou la différence C–D. Exemples : pour tous réels x, y et z, les sommes ou différences xy–xz, x2+2xy+y2, 5x3y+20xy2–10xy sont respectivement les développements de x(y-z) (distributivité de la multiplication par rapport à la soustraction), de (x+y)2 et de 5xy(x2+4y–2)". (Chambadal, HACHETTE, 1981, p. 247)’

Nous soulignons que dans le deuxième dictionnaire, on met un lien avec factoriser une expression littérale défini de la façon suivante :

‘"Mise en facteur. Ainsi, factoriser une somme ou une différence, c’est l’écrire sous la forme d’un produit. Exemples, pour tous réels x, y et z, les produits x(y+z), (x-y)(x+y), 2x(3x2-y), (x-3)2 sont, respectivement, des factorisations de xy+xz (distributivité de la multiplication par rapport à l’addition)"’

Ainsi, les deux types de tâches développer-factoriser une expression littérale s’identifient par la propriété de la distributivité de la multiplication sur l’addition ou la soustraction sur l’ensemble des réels, ce qui est mis en avant par les programmes.

Notons que nous avons trouvé d’autres significations pour développer qui renvoient à plusieurs contextes mathématiques que les élèves n'ont pas encore rencontré : arithmétique ; fonction et série ; Courbes ; Analyse ; Matrices ; etc. et qui ont plusieurs sens. Par exemple dans le contexte du courbes :

‘"Courbe T dont C est développée. Si l’on imagine un fil enroulé autour d’un cercle, l’extrémité du fil décrit, lorsqu’il se déroule tout en restant tendu, une développante de cercle".(Bouvier, et al., 2005) ’