Pour compléter ces définitions, nous avons proposé des énoncés d’exercices, dans lesquels ces trois mots pouvaient être employés et nous avons demandé aux élèves de se positionner face à ces propositions. Nous avons donc cherché à savoir s’ils associaient des formes d’expressions littérales à l’un de trois termes étudiés et quelles étaient les associations fréquentes entre ces termes ou quelles étaient les oppositions.
Dans les paragraphes suivantes, nous allons présenter les différents énoncés.
Tout d’abord, nous pensons que presque tous les élèves seront d’accord parce que comme nous avons déjà indiqué, ces formulations apparaissent dans plus de la moitié des manuels étudié. Cependant, même si elles s’appuient plutôt sur la forme de l’expression, elles correspondent au sens mathématique.
On teste ici le lien entre développer et factoriser. D’après les manuels mathématiques libanais, nous pensons que la plupart des élèves libanais seront d’accord. En revanche, les avis des élèves français seront, peut être, plus partagés puisqu’en 4ème, d’une part, le mot "factoriser" n’apparaît pas dans les manuels et, d’autre part, les professeurs peut être ne l’utilisent pas en tant que telle conformément au programme.
Ici, les deux égalités sont écrites dans le registre algébriques et sont déjà connues en 5ème en France et 4ème au Liban. La technologie/théorie est la distributivité de la multiplication sur l’addition ou la soustraction qui permet d’avoir ces deux égalités.
Comme nous avons vu, cette citation correspond au sens courant : alléger l’écriture, et se trouves dans quelques manuels français. Nous pensons que les élèves vont être plutôt d’accord mais le pourcentage des élèves français sera probablement plus élevé de celui des libanais.
Cette convention est vraie en calcul littéral et le sens courant de simplifier est compatible. Nous pensons donc que les élèves seront plutôt d’accord.
Dans ces trois cas, c’est la forme de l’expression initiale qui est mise en avant. Comme nous avons déjà indiqué, pour le premier cas, on trouve plutôt, dans les manuels, "supprimer les parenthèses". Pour les deux derniers, quand l’expression est un produit, on utilise réduire ou simplifier ou effectuer le produit. Par contre, les deux derniers termes,"simplifier" ou "effectuer le produit", apparaissent beaucoup moins dans les manuels. Donc on peut penser que les élèves ne seront pas d’accord pour le premier cas. Pour les deux derniers, les avis seront plus partagés.
Dans ces deux cas on teste le lien entre simplifier et développer pour voir si ces deux termes sont utilisés avec des expressions littérales ayant des formes semblables. Comme nous avons vu, développer et simplifier sont des antonymes dans le sens courant. De plus, "supprimer les parenthèses" apparaît souvent dans l’énoncé associée à la première expression, Nous pensons donc que la majorité des élèves ne vont pas être d’accord. Pour le deuxième cas nous avons choisi une expression ayant une forme non classique. On peut donc se demander s’il y aura une différence dans les réponses.
On teste ici le lien entre développer et calculer une expression littérale. Nous pensons que la majorité des élèves vont être d’accord parce que la forme de l’expression littérale est classique et, dans ce cas, calculer a la même signification qu'effectuer des opérations sans avoir une réponse numérique.
D’après les analyses des manuels et le sens courant de chaque mot, nous pensons que la plupart des élèves ne seront pas d’accord.
On teste ici le lien entre simplifier et réduire pour voir si ces deux termes sont synonymes en calcul littéral. D’après les analyses des manuels, nous avons indiqué que le terme simplifier n’apparaît pas toujours, et de plus l’utilisation de ce terme dans la partie exercices n’est pas restreint aux expressions à réduire. Or, d’après le sens courant, nous avons indiqué que les deux termes sont synonymes. Nous pensons donc que les réponses des élèves seront partagées.
Nous visons tester le lien entre développer et réduire. Ainsi, nous cherchons à savoir si les élèves considèrent que développer est seulement synonyme de distribuer ou bien de réduire un polynôme. Pour cela, nous avons choisi des exemples complets d’application qui portent sur un produit de nombres ou sur un produit des polynômes de degré 1. Pour le premier cas, nous pensons que les élèves seront plutôt d’accord parce que cette technique correspond à ce qu’ils ont déjà fait dans des classes antérieurs pour le calcul mental. Pour le second, les élèves seront aussi d’accord. Pour le dernier cas, les avis des élèves seront peut être plus partagés parce que habituellement on demande de développer et réduire. On ne s’arrête pas à une expression développée et non réduite.
Nous cherchons à déterminer le pourcentage des élèves qui acceptent une expression sous forme réduite comportant encore des signes "+" ou "–". Pour cela, nous avons choisi un exemple complet d’application qui porte sur polynôme de degré 2. Les analyses de manuels et le sens courant de terme nous conduisent à penser que la plupart des élèves seront d’accord.
Dans ces trois cas, c'est la forme de l’expression attendue qui est mise en avant. Pour les deux premières expressions, on demande souvent de "développer et réduire" mais le signe rarement apparaît entre deux parenthèses. Pour la dernière expression on demande de développer mais souvent le signe "–" apparaît sans le 1 devant la parenthèse. Dans les cas 1 et 3 nous n’avons pas effectué des calcul mais nous avons allégé l’écriture selon les conventions en calcul littéral. Les effets du contrat (avoir une réponse développée et réduite) peut jouer un facteur plus important que le terme utilisé dans l’énoncé. Nous pensons que les réponses des élèves seront partagées.
Ici on donne deux citations en langage naturel et symbolique en utilisant les verbes "multiplier" et "supprimer". On indique ici une technique. Les deux expressions littérales sont familières. Pour la première formulation, nous pensons que les élèves seront plutôt d’accord. Pour le deuxième cas, les avis des élèves seront partagés. En fait, le terme simplifier apparaît, mais rarement, dans les manuels avec des expressions littérales ayant cette forme. D’autre part, nous pensons que souvent les élèves enlèvent les parenthèses et changent les signes de termes sans avoir conscience qu'ils utilisent la propriété de distributivité de la multiplication sur l’addition ou la soustraction. En revanche, l’expression littérale simplifiée est moins chargée des éléments (il n’y a plus de parenthèses), ce qui correspond au sens courant du terme.