1.2.2. Selon les élèves

Pour compléter ces définitions, nous avons proposé des énoncés d’exercices, dans lesquels ces trois mots pouvaient être employés et nous avons demandé aux élèves de se positionner face à ces propositions. Nous avons donc cherché à savoir s’ils associaient des formes d’expressions littérales à l’un de trois termes étudiés et quelles étaient les associations fréquentes entre ces termes ou quelles étaient les oppositions.

Dans les paragraphes suivantes, nous allons présenter les différents énoncés.

• a, b et m étant des nombres relatifs, on a : m(a+b)=ma+mb. Développerl’expression m(a+b) c’est la remplacer par ma+mb.
• Développer un produit, c’est l’écrire comme une somme de termes.

Tout d’abord, nous pensons que presque tous les élèves seront d’accord parce que comme nous avons déjà indiqué, ces formulations apparaissent dans plus de la moitié des manuels étudié. Cependant, même si elles s’appuient plutôt sur la forme de l’expression, elles correspondent au sens mathématique.

• Développer, c’est l’opération inverse de factoriser.

On teste ici le lien entre développer et factoriser. D’après les manuels mathématiques libanais, nous pensons que la plupart des élèves libanais seront d’accord. En revanche, les avis des élèves français seront, peut être, plus partagés puisqu’en 4ème, d’une part, le mot "factoriser" n’apparaît pas dans les manuels et, d’autre part, les professeurs peut être ne l’utilisent pas en tant que telle conformément au programme.

• La multiplication est distributivepar rapport à l’addition et à la soustraction k(a+b)=ka+kb et k(a-b)=ka-kb. Cette règle permet de développer des produits.

Ici, les deux égalités sont écrites dans le registre algébriques et sont déjà connues en 5ème en France et 4ème au Liban. La technologie/théorie est la distributivité de la multiplication sur l’addition ou la soustraction qui permet d’avoir ces deux égalités.

• Réduire une expression littérale, c’est l’écrire avec le moins de termes possibles.

Comme nous avons vu, cette citation correspond au sens courant : alléger l’écriture, et se trouves dans quelques manuels français. Nous pensons que les élèves vont être plutôt d’accord mais le pourcentage des élèves français sera probablement plus élevé de celui des libanais.

• Pour simplifier les écritures mathématiques, on utilise les conventions suivantes : On n’écrit pas le signe  entre un nombre et une parenthèse, deux parenthèses, une lettre et une parenthèse, deux lettres, un nombre et une lettre.

Cette convention est vraie en calcul littéral et le sens courant de simplifier est compatible. Nous pensons donc que les élèves seront plutôt d’accord.

• Quand on a une expression de la forme 7x-(3-x), le professeur demande de réduirel’expression.
• Quand on a une expression de la forme 6x4x, le professeur demande de réduire l’expression.
• Quand on a une expression de la forme 4x5x, le professeur demande de simplifier l’expression.

Dans ces trois cas, c’est la forme de l’expression initiale qui est mise en avant. Comme nous avons déjà indiqué, pour le premier cas, on trouve plutôt, dans les manuels, "supprimer les parenthèses". Pour les deux derniers, quand l’expression est un produit, on utilise réduire ou simplifier ou effectuer le produit. Par contre, les deux derniers termes,"simplifier" ou "effectuer le produit", apparaissent beaucoup moins dans les manuels. Donc on peut penser que les élèves ne seront pas d’accord pour le premier cas. Pour les deux derniers, les avis seront plus partagés.

• Développer c’est simplifier une expression comme (5x+2)-(6x+4)
• Développer c’est simplifier une expression comme (3x+9)+(2x+3)4

Dans ces deux cas on teste le lien entre simplifier et développer pour voir si ces deux termes sont utilisés avec des expressions littérales ayant des formes semblables. Comme nous avons vu, développer et simplifier sont des antonymes dans le sens courant. De plus, "supprimer les parenthèses" apparaît souvent dans l’énoncé associée à la première expression, Nous pensons donc que la majorité des élèves ne vont pas être d’accord. Pour le deuxième cas nous avons choisi une expression ayant une forme non classique. On peut donc se demander s’il y aura une différence dans les réponses.

• Développer c’est calculer une expression comme (3x+4)(5x-2)

On teste ici le lien entre développer et calculer une expression littérale. Nous pensons que la majorité des élèves vont être d’accord parce que la forme de l’expression littérale est classique et, dans ce cas, calculer a la même signification qu'effectuer des opérations sans avoir une réponse numérique.

• Développer c’est réduire une expression comme 5x2+3x-6x+4

D’après les analyses des manuels et le sens courant de chaque mot, nous pensons que la plupart des élèves ne seront pas d’accord.

• On dit parfois "simplifier une expression littérale" au lieu de "réduire une expression littérale"

On teste ici le lien entre simplifier et réduire pour voir si ces deux termes sont synonymes en calcul littéral. D’après les analyses des manuels, nous avons indiqué que le terme simplifier n’apparaît pas toujours, et de plus l’utilisation de ce terme dans la partie exercices n’est pas restreint aux expressions à réduire. Or, d’après le sens courant, nous avons indiqué que les deux termes sont synonymes. Nous pensons donc que les réponses des élèves seront partagées.

• Si on veut calculer 23101 on peut faire 23101=23(100+1)=2300+23=2323. On a utilisé le développement pour passer de la première ligne à la deuxième ligne pour faciliter le calcul.
• Quand on écrit les égalités suivantes, (3x+2)(x+4)=3x2+12x+2x+8=3x2+14x+8 on développe et on réduit
• Quand on écrit les égalités suivantes, on développe (a-1)(a+3)=a2+3a-a-3=a2+2a-3

Nous visons tester le lien entre développer et réduire. Ainsi, nous cherchons à savoir si les élèves considèrent que développer est seulement synonyme de distribuer ou bien de réduire un polynôme. Pour cela, nous avons choisi des exemples complets d’application qui portent sur un produit de nombres ou sur un produit des polynômes de degré 1. Pour le premier cas, nous pensons que les élèves seront plutôt d’accord parce que cette technique correspond à ce qu’ils ont déjà fait dans des classes antérieurs pour le calcul mental. Pour le second, les élèves seront aussi d’accord. Pour le dernier cas, les avis des élèves seront peut être plus partagés parce que habituellement on demande de développer et réduire. On ne s’arrête pas à une expression développée et non réduite.

• 3x2+6x+7 est une forme réduitede 3x2+2x+4x+7. 

Nous cherchons à déterminer le pourcentage des élèves qui acceptent une expression sous forme réduite comportant encore des signes "+" ou "–". Pour cela, nous avons choisi un exemple complet d’application qui porte sur polynôme de degré 2. Les analyses de manuels et le sens courant de terme nous conduisent à penser que la plupart des élèves seront d’accord.

• (4x-1)(6x-2) est une forme simplifiéede (4x-1)(6x-2)
• 6x2+x-2 est une forme simplifiée de (3x+2)(2x-1)
• -(3+2x) est l’écriture simplifiée de (3+2x)(-1)

Dans ces trois cas, c'est la forme de l’expression attendue qui est mise en avant. Pour les deux premières expressions, on demande souvent de "développer et réduire" mais le signe  rarement apparaît entre deux parenthèses. Pour la dernière expression on demande de développer mais souvent le signe "–" apparaît sans le 1 devant la parenthèse. Dans les cas 1 et 3 nous n’avons pas effectué des calcul mais nous avons allégé l’écriture selon les conventions en calcul littéral. Les effets du contrat (avoir une réponse développée et réduite) peut jouer un facteur plus important que le terme utilisé dans l’énoncé. Nous pensons que les réponses des élèves seront partagées.

• Développer 3x(2x–1) c’est multiplier 3x par 2x, cela fait 6x2 et 3x par –1, cela fait –3x, et faire la somme.
• Quand le professeur demande de simplifier l’expression 3x–(5–8y) on supprime ce "–" et les parenthèses à condition de multiplier l’expression entre parenthèses par –1. Donc la réponse est 3x–5+8y.

Ici on donne deux citations en langage naturel et symbolique en utilisant les verbes "multiplier" et "supprimer". On indique ici une technique. Les deux expressions littérales sont familières. Pour la première formulation, nous pensons que les élèves seront plutôt d’accord. Pour le deuxième cas, les avis des élèves seront partagés. En fait, le terme simplifier apparaît, mais rarement, dans les manuels avec des expressions littérales ayant cette forme. D’autre part, nous pensons que souvent les élèves enlèvent les parenthèses et changent les signes de termes sans avoir conscience qu'ils utilisent la propriété de distributivité de la multiplication sur l’addition ou la soustraction. En revanche, l’expression littérale simplifiée est moins chargée des éléments (il n’y a plus de parenthèses), ce qui correspond au sens courant du terme.