2.1.2. Une photographie autour "réduire une expression littérale"

Les représentations des professeurs

Les réponses des professeurs sont partagées de la façon suivante :

  • "additionner (ou grouper ou réduire) les termes semblables ou les termes ayant la même partie littérale". (24 sur 33 professeurs : 16 libanais et 8 français)
  • "une forme plus simple ou plus courte ou moins de termes possibles" (7 professeurs français)

Presque tout les professeurs libanais citent la première formulation. Plus de la moitié des professeurs français s’appuient sur la forme de l’expression et le sens courant en négligeant la technique de factorisation et la propriété de distributivité. Nous soulignons ici qu’au Liban on n’utilisent pas ce terme dans la vie courante. D’ailleurs, presque aucun professeur propose des exemples d’application complète ou écrit dans le registre algébrique ou parle de réduire un produit. Nous se demandons la signification de l’expression "partie littérale" et les éléments technologiques/théoriques qui permettent de dire que deux monômes ont la même partie littérale. Nous pensons que ces citations vivent dans les classes ainsi ont des effets sur les techniques de correction des professeurs, les erreurs des élèves et leurs procédures de validation. Ainsi

  • les professeurs risquent ne pas lier les erreurs à une manque des propriétés mathématiques (la distributivité de la multiplication sur l’addition ou la soustraction) et pour réaliser ou corriger ces tâches, ils utilisent probablement des éléments ostensifs pour indiquer les monômes ayant la même "partie littérale" (en les soulignant ou encadrant).
  • les élèves risquent de commettre des erreurs de type concaténation 16 et leurs procédures de validation peuvent se limiter sur des éléments d’ostensifs (plutôt les élèves libanais) et sur le sens commun (plutôt les élèves français).

Ces résultats et hypothèses sont à mettre en lien avec ceux de Tirosh et al., 1998, qui ont étudié les types d'explication données par des professeurs ayant des expériences différents, dans les classes et dans des entretiens (avant et après la classe). Ils indiquent qu’un professeur débutant cite la règle suivante : "on réduit des termes ayant la même partie littérale". Pour effectuer la tâche réduire 7x-5-x+12 dans la classe, il incite les élèves à chercher des termes avec x et des termes sans x. Nous notons que cette technique peut provoquer les élèves à effectuer des erreurs quand ils réduisent des expressions littérales contenant, par exemple, des termes en x et des termes en x2 parce que probablement ils vont ajouter ces termes. D’autre part, un autre professeur, débutant aussi, cite "pour réduire une expression littérale on ajoute les lettres à part et les nombres à part" 17 en proposant la tâche réduire 3m+5+2m dans la classe. Il faut noter que suivant cette citation l’expression littérale 5m+2 peut être égale 7+m ou 7m. Cependant, suite à une erreur de concaténation effectuée par un élève, le professeur corrige en s’appuyant sur des ostensifs (des couleurs différents pour distinguer le 5 d’autres termes) et en répétant la même règle.

Enfin, nous soulignons une citation de deux professeurs qu’ils nous est apparue intéressante : "réduire c'est comme regrouper tous ceux qui sont d'une même espèce ensemble : les hommes avec les hommes ; les objets avec les objets ; les animaux avec les animaux".

Notes
16.

C’est une erreur classique que nous allons identifier et expliquer selon points de vues différents dans le chapitre 4

17.

Un professeur, parmi les 33, cite une formulation pareille "additionner ou soustraire les parties de cette expression qui concernent la même variable".