2. Le passage de l’arithmétique à l’algèbre

Dans l’enseignement des mathématiques en France et au Liban (voire dans les pays anglo-saxons : Canada, Etats-Unis, Angleterre l’algèbre vient après l’arithmétique. Du coup, se pose la question du rapport éventuel entre l’algèbre et l’arithmétique et des difficultés liées. Particulièrement, la question des rapports entre algèbre et arithmétique et l’identification des ruptures et des continuités entre ces deux domaines ont intéressé de nombreux chercheurs. Dans la suite nous mentionnons quelques citations en lien avec ce sujet.

Vergnaud, 1987, indique qu’il y a une double rupture épistémologique entre l’arithmétique et l’algèbre :

‘"d’une part l’introduction d’un détour formel dans le traitement des problèmes habituellement traités intuitivement, d’autre part, l’introduction d’objets mathématiques nouveaux comme ceux d’équation et d’inconnue, de fonction et de variable, …"’

Grugeon, 1995 indique que :

‘«Kieran, 1992, 1994, relie les difficultés des élèves à l’introduction de l’algèbre comme une généralisation de l’arithmétique. Elle développe ensuite les continuités et discontinuités entre arithmétique et algèbre.
 Les fausses continuités résident dans :
- le partage des mêmes symboles et signes (signes d’égalité et d’opération) n’ayant pas la même interprétation
- la présence de lettres n’ayant plus la même signification selon le contexte.
Les discontinuités sont reliées à :
- la mise en œuvre de démarches de résolution distinctes
- l’utilisation de nouveaux objets, voire la mise en jeu de conceptions d’ordre structural et non plus procédural des objets (mémorisation d’un calcul et non plus effectuation du calcul, process-product dilemma de Davis, 1975)
- la représentation formelle des problèmes par des équations et à l’utilisation de procédures formelles nouvelles pour les résoudre (didactical cut de Filloy et Rojano, 1984) » (Grugeon, 1995) ’

Il faut noter qu’on retrouve ici le rôle important des ostensifs dans l’utilisation des mêmes symboles et signes.