2.1.1. Le signe "="

L’égalité pose un problème de rupture essentiel parce qu’il peut avoir un double statut en désignant soit l’annonce d’un résultat, soit une relation d’équivalence.

Coulange, 2000 a mentionné dans sa thèse que :

‘"Au sein de l’arithmétique enseignée actuellement, la signification dominante du signe d’égalité est celle de l’annonce d’un résultat, ou d’effectuation d’opérations (fréquentes sont les écritures de type 2+6=8 dans les solutions arithmétiques associées d’ailleurs à l’oral d’expression du type 2 et ou plus 6 font ou donne 8). Le signe d’égalité traduit alors, pour les élèves, une relation qui n’est ni symétrique, ni transitive. Dans ce cas, son rôle dominant est un rôle de production (4+3=7 où le signe = est vu comme signe de production des écritures). Cela peut entraîner des difficultés dans l’apprentissage de ces tâches relative au calcul littéral ou aux techniques associées".’

En revanche, le rôle du signe égal, en algèbre, ne peut être réduit à celui en arithmétique (puisque par exemple, le signe = est vu comme relation dans l’écriture 4+3=6+1). Quand on travaille sur les objets de l’algèbre, le signe d’égalité traduit alors nécessairement une relation d’équivalence. Des chercheurs comme Wagner’s, 1977, Vergnaud et al., 1987, Kieran, 1981, Kieran & al., 1991, Cortès, 1992, montrent qu’au début de l’enseignement de l’algèbre le signe d’égalité, pour certaines élèves, se limite souvent au sens initial dominant en arithmétique. Alors, les propriétés de la symétrie et la transitivité du signe d’égalité ne sont pas claires et peuvent donc conduire à des écritures incorrectes (par rapport au signe d’égalité, par exemple 50-24=26+12=38). Pour illustrer, on cite :

‘"The equal sign is read as "it gives" that is left-to-right directional sign" (Kieran & al, 1991)’ ‘"a unidirectional symbol preceding a numerical answer" (Wagner’s, 1977, Kieran, 1981)’

Pour conclure, la difficulté revenant à l’interprétation du signe égale comme équivalence peut ainsi entraîner une résistance importante de la part d’élèves dans l’apprentissage des règles formelles du calcul algébrique, notamment au calcul littéral. Enfin, les élèves débutant peuvent donc tenter de faire appel à des techniques se rapprochant de l’arithmétique et non de l’algèbre. Enfin, nous indiquons les erreurs qui peuvent être provoqué par cette rupture dans les paragraphes qui suivent.