2.1.2. Les lettres

Grugeon, indique que :

‘« Kuchëmann, 1981, Booth 1984, Kieran, 1991, ont montré qu’en mathématiques une lettre peut avoir, selon le contexte, des statuts différents (comme être évalué : la lettre est remplacée par une valeur numérique ; non considérée : la lettre est ignorée dans le calcul ; être une étiquette : la lettre représente un objet concret ; être une inconnue spécifique : la lettre désigne un nombre inconnu ; être un nombre généralisé : la lettre peut prendre plusieurs valeurs ; être une variable ou un paramètre : la lettre est utilisée dans un contexte fonctionnel).
En arithmétique, souvent on utilise les lettres pour désigner des étiquettes (par exemple 12m peut désigner 12 motos) ou des mesures (par exemple 12m peut désigner 12 mètres). Tandis qu’en algèbre on peut aplatir les nombres sur des étiquettes (par exemple 2x+3x=5x on suggère de penser x comme à des pommes), mais cela ne veut pas dire que le statut d’une lettre est réductible à celui d’étiquette ou des mesures. Nous remarquons que certains professeurs utilisent la première lettre des mots pour représenter l’objet indiqué par ce mot, dans ce cas, la lettre peut devenir pour les élèves un objet. » (Grugeon, 1995)’

L’utilisation des lettres dépend du contexte. En effet, l’algèbre fournit un moyen plus puissant que l’arithmétique traditionnelle pour résoudre des problèmes essentiellement liés à l’usage des lettres (Chevallard, 1989a). Par exemple ces dernières peuvent être des quantités inconnues pour résoudre des équations.

Nous revenons au calcul littéral pour noter que dans les tâches de type "développer et/ou réduire une expression littérale" la lettre a le statut d’une variable. Mais au sein d’autres types de tâches, comme "résoudre des équations", ces tâches deviennent des outils et la lettre peut prendre différents statuts (ce qui peut créer des difficultés pour les élèves) comme le montre Croset, 2005, en indiquant un exemple de résolution d’équation:

Selon le raisonnement horizontal ou vertical, le statut de la lettre change :

‘"entre le membre de gauche x+7 et le 8 (1), il y a recherche d’équilibre, x n’est pas une variable mais une inconnue ; on cherche à déterminer quelles seraient les valeurs à donner à x pour que cette égalité soit vraie, tandis qu’entre les deux membres de gauche x+7-7 (2) et x (3), il y bel et bien égalité, quel que soit la valeur de x ; x a ici le statut de variable. En revanche, entre x+7 (1) et x+7-7 (2), il n’y a aucune égalité possible." (Croset, 2005, pp. 13)’

Pour conclure, nous nous mettons d’accord que le changement de statut dans le passage de l’arithmétique à l’algèbre n’a rien d’évident pour les élèves. Nous rejoignons Kuchëmann, 1981, Booth, 1988, qui soulignent que parfois l’enseignement, notamment les approches choisies par certains enseignants, participe à créer des erreurs pour les élèves. En fait, certains professeurs représentent les variables par des objets. Par exemple : "deux pommes plus cinq bananes" pour représenter 2x+5y. Cela peut encourager les élèves à écrire 7xy parce que couramment on peut dire deux pommes plus cinq bananes c’est sept fruits. Enfin, par ces approches les professeurs ne font pas recours à des éléments théoriques et ils s’appuient plutôt sur des éléments ostensifs et sur des exemples de la vie commune.