2.1.3. Les signes opératoires

Dans les paragraphes suivants, nous parlons, d’une part, de changement du statut de signes "+" et "-" lié au passage arithmétique-algèbre et, d’autre part, nous citons les résultats des études didactiques sur les conceptions et des difficultés des élèves liées au changement de signes. Ensuite, nous indiquons les difficultés liées au syntaxe d’une expression littérale, notamment au signe puissance et à l’apparition ou non de signe "".

‘Tout d’abord, en arithmétique, les enchaînements opératoires, ne sont pas traités comme des objets mais comme des processus de calcul. Ainsi les expressions contenant des signes opératoires sont toujours évaluées pour obtenir un résultat. Par exemple, 2(3+5) est un processus conduisant au nombre 16. Tandis qu’en algèbre, ce n’est pas toujours le cas : une expression littérale ayant le statut de résultat peut conserver un signe opératoire et rester non évaluée (par exemple x+3 peut avoir le statut d’un résultat). (Grugeon, 1995)’

Les chercheurs Sfard, 1991, et Kieran, 1994, ont montré qu’au début de l’enseignement de l’algèbre, qu’une expression littérale avec un signe opératoire (par exemple 4n+3) n’est pas un objet mathématique pour les élèves, car la conception du signe "+" est lié à un processus de calcul. De plus, il est associé à l’idée de réunion physique et à l’exécution d’une action (par exemple, les élèves peuvent ajouter 4n et 3 pour avoir 7n comme "résultat"), ceci peut être renforcé par la conception en arithmétique du signe "=".

‘"In arithmetic, symbols such as + and = are typically interpreted in terms of actions to be performed,+ means to actually perform the operation and = means to write down the answer". (Ginsburg, 1977, Behr et al., 1980)’

D’ailleurs, Kirshner, 1989, relie les erreurs des élèves à une absence de marques explicites dans les expressions littérales. Par exemple, pour transformer (3x2)2 en 9x4, l’élève doit identifier 3x2 comme un produit (et non une puissance).La difficulté provient donc de l’absence de marque explicite indiquant que l’exposant " 2 " ne s’applique qu’à x et non à 3x.

Drouhard, 1992, constate que la syntaxe des règles de priorité est une plus grande cause d’erreur que la complexité des structures. Il conclut que le critère le plus pertinent est celui de la catégorie des expressions mises en jeu.

‘"ce n’est pas la notion même de suite d’opérations que la manière dont l’ordre des opérations est exprimée : explicitement (avec des parenthèses) ou implicitement (par les conventions de priorité), ni le degré de complexité de ces suites qui posent des problèmes aux élèves. Ces sont les propriétés de ces suites d’opérations, telles que la commutation des opérateurs (le carré de la somme n’est pas la somme des carrés) qu’ils maîtrisent mal, propriétés liées à celles des opérations elles-mêmes". ’

Pour conclure, nous constatons, encore une fois, que contrairement à l’arithmétique, l’algèbre ne permet pas généralement une distinction claire entre le processus de calcul et son résultat et que le changement de statut de signes opératoires va aboutir à une rupture avec les pratiques arithmétiques. Nous rejoignons donc Booth, 1984 et Grugeon, 1995 qui indiquent que cela peut constituer un obstacle pour les élèves. Finalement, on se demande si, dans les phases de correction, les professeurs font des analyses de la source de l’erreur, en la renvoyant à des pratiques arithmétiques.